미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} {(2 t + 1)}^{3} d t$

단계 1

먼저 $u = 2 t + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d t$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = 2 t + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$2 t + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [2 t + 1]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $2 t + 1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d t} [2 t]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$2$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $2 t$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d t} [1]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.4.1

$1$ 이 $t$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $t$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 + 0$

단계 1.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 1.2

$u = 2 t + 1$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 1$

단계 1.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$2$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0 + 1$

단계 1.3.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 1.4

$u = 2 t + 1$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 2 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.1

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = 2 (\frac{1}{2}) + 1$

단계 1.5.1.2

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = 1 + 1$

단계 1.5.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 2$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{2} u^{3} \frac{1}{2} d u$

단계 2

$u^{3}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int_{1}^{2} \frac{u^{3}}{2} d u$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{3} d u$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $u^{3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} u^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{2}$

단계 5

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$2$ , $1$ 일 때, $\frac{1}{4} u^{4}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

단계 5.2

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 16 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

단계 5.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$\frac{1}{4}$ 와 $16$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{16}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

단계 5.3.2

$16$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$16$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

단계 5.3.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

단계 5.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

단계 5.3.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} (\frac{4}{1} - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

단계 5.3.2.2.4

$4$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4} \cdot 1^{4})$

단계 5.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4} \cdot 1)$

단계 5.4.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (4 - \frac{1}{4})$

단계 5.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.5.1

공통 분모를 가지는 분수로 $4$ 을 표현하기 위해 $\frac{4}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (4 \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4})$

단계 5.5.2

$4$ 와 $\frac{4}{4}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{1}{4})$

단계 5.5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \cdot 4 - 1}{4}$

단계 5.5.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.5.4.1

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{16 - 1}{4}$

단계 5.5.4.2

$16$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{15}{4}$

단계 5.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.6.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{15}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{15}{2 \cdot 4}$

단계 5.6.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{15}{8}$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{15}{8}$

소수 형태:

$1.875$

대분수 형식:

$1 \frac{7}{8}$