미적분 예제

$\int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{2}}} d x$

단계 1

지수를 사용하여 수식을 세웁니다.

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단계 1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - 9 x^{2}}} d x$

단계 1.2

$9 x^{2}$ 을 ${(3 x)}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{1}{6}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(3 x)}^{2}}} d x$

단계 2

먼저 $u = 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = 3 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$3 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

단계 2.1.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 2.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 2.2

$u = 3 x$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

단계 2.3

$3$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = 0$

단계 2.4

$u = 3 x$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 3 (\frac{1}{6})$

단계 2.5

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$u_{upper} = 3 \frac{1}{3 (2)}$

단계 2.5.2

공약수로 약분합니다.

$u_{upper} = 3 \frac{1}{3 \cdot 2}$

단계 2.5.3

수식을 다시 씁니다.

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

단계 2.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

단계 2.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

단계 3

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

단계 4

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\arcsin (u)$ 입니다

$\frac{1}{3} \arcsin (u)]_{0}^{\frac{1}{2}}$

단계 5

$\frac{1}{2}$ , $0$ 일 때, $\arcsin (u)$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{3} (\arcsin (\frac{1}{2}) - \arcsin (0))$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.1.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ 의 정확한 값은 $\frac{π}{6}$ 입니다.

$\frac{1}{3} (\frac{π}{6} - \arcsin (0))$

단계 6.1.2

$\arcsin (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$\frac{1}{3} (\frac{π}{6} - 0)$

단계 6.1.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} (\frac{π}{6} + 0)$

단계 6.2

$\frac{π}{6}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{π}{6}$

단계 6.3

$\frac{1}{3} \cdot \frac{π}{6}$ 을 곱합니다.

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단계 6.3.1

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{π}{6}$ 을 곱합니다.

$\frac{π}{3 \cdot 6}$

단계 6.3.2

$3$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$\frac{π}{18}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{π}{18}$

소수 형태:

$0.17453292 \dots$

단계 8