미적분 예제

$\int {(e^{x} - e^{- x})}^{2} d x$

단계 1

${(e^{x} - e^{- x})}^{2}$ 을 $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ 로 바꿔 씁니다.

$\int (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x}) d x$

단계 2

FOIL 계산법을 이용하여 $(e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int e^{x} (e^{x} - e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

단계 2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} (e^{x} - e^{- x}) d x$

단계 2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int e^{x} e^{x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

단계 3

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int e^{x + x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

단계 3.1.1.2

$x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\int e^{2 x} + e^{x} (- e^{- x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

단계 3.1.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\int e^{2 x} - e^{x} e^{- x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

단계 3.1.3

지수를 더하여 $e^{x}$ 에 $e^{- x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.3.1

$e^{- x}$ 를 옮깁니다.

$\int e^{2 x} - (e^{- x} e^{x}) - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

단계 3.1.3.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int e^{2 x} - e^{- x + x} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

단계 3.1.3.3

$- x$ 를 $x$ 에 더합니다.

$\int e^{2 x} - e^{0} - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

단계 3.1.4

$- e^{0}$ 을 간단히 합니다.

$\int e^{2 x} - 1 - e^{- x} e^{x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

단계 3.1.5

지수를 더하여 $e^{- x}$ 에 $e^{x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.5.1

$e^{x}$ 를 옮깁니다.

$\int e^{2 x} - 1 - (e^{x} e^{- x}) - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

단계 3.1.5.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int e^{2 x} - 1 - e^{x - x} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

단계 3.1.5.3

$x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\int e^{2 x} - 1 - e^{0} - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

단계 3.1.6

$- e^{0}$ 을 간단히 합니다.

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - e^{- x} (- e^{- x}) d x$

단계 3.1.7

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x} e^{- x} d x$

단계 3.1.8

지수를 더하여 $e^{- x}$ 에 $e^{- x}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.8.1

$e^{- x}$ 를 옮깁니다.

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 (e^{- x} e^{- x}) d x$

단계 3.1.8.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- x - x} d x$

단계 3.1.8.3

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$\int e^{2 x} - 1 - 1 - 1 \cdot - 1 e^{- 2 x} d x$

단계 3.1.9

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int e^{2 x} - 1 - 1 + 1 e^{- 2 x} d x$

단계 3.1.10

$e^{- 2 x}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int e^{2 x} - 1 - 1 + e^{- 2 x} d x$

단계 3.2

$- 1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\int e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x} d x$

단계 4

먼저 $u_{1} = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u_{1} = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 4.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 4.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 4.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{- 2 \frac{u_{1}}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$- 2$ 와 $\frac{u_{1}}{2}$ 을 묶습니다.

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{- 2 u_{1}}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 5.2

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

$- 2 u_{1}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{2 (- u_{1})}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 5.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{2 (- u_{1})}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 5.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{2 (- u_{1})}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 5.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{\frac{- u_{1}}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 5.2.2.4

$- u_{1}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\int (e^{u_{1}} - 2 + e^{- u_{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} - 2 + e^{- u_{1}} d u_{1}$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (\int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 d u_{1} + \int e^{- u_{1}} d u_{1})$

단계 8

$e^{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{1}}$ 입니다.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C + \int - 2 d u_{1} + \int e^{- u_{1}} d u_{1})$

단계 9

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C + \int e^{- u_{1}} d u_{1})$

단계 10

먼저 $u_{2} = - u_{1}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - d u_{1}$ 이므로 $- d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

$u_{2} = - u_{1}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1.1

$- u_{1}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [- u_{1}]$

단계 10.1.2

$- 1$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $- u_{1}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 입니다.

$- \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

단계 10.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 10.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 10.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C + \int - e^{u_{2}} d u_{2})$

단계 11

$- 1$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C - \int e^{u_{2}} d u_{2})$

단계 12

$e^{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $e^{u_{2}}$ 입니다.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C - 2 u_{1} + C - (e^{u_{2}} + C))$

단계 13

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} - 2 u_{1} - e^{u_{2}}) + C$

단계 14

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 2 (2 x) - e^{u_{2}}) + C$

단계 14.2

$u_{2}$ 를 모두 $- u_{1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 2 (2 x) - e^{- u_{1}}) + C$

단계 14.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 2 (2 x) - e^{- (2 x)}) + C$

단계 15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 4 x - e^{- (2 x)}) + C$

단계 15.1.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (e^{2 x} - 4 x - e^{- 2 x}) + C$

단계 15.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} e^{2 x} + \frac{1}{2} (- 4 x) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

단계 15.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.3.1

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{2 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (- 4 x) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

단계 15.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.3.2.1

$- 4 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

단계 15.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{e^{2 x}}{2} + \frac{1}{2} (2 (- 2 x)) + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

단계 15.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{e^{2 x}}{2} - 2 x + \frac{1}{2} (- e^{- 2 x}) + C$

단계 15.3.3

$\frac{1}{2}$ 와 $e^{- 2 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{e^{2 x}}{2} - 2 x - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$

단계 16

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} e^{2 x} - 2 x - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + C$