미적분 예제

$\int \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{4}} d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u_{1} = x - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$x - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{{(u_{1} + 1)}^{2}}{{u_{1}}^{4}} d u_{1}$

단계 2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

${u_{1}}^{4}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int {(u_{1} + 1)}^{2} {({u_{1}}^{4})}^{- 1} d u_{1}$

단계 2.2

${({u_{1}}^{4})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int {(u_{1} + 1)}^{2} {u_{1}}^{4 \cdot - 1} d u_{1}$

단계 2.2.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int {(u_{1} + 1)}^{2} {u_{1}}^{- 4} d u_{1}$

단계 3

먼저 $u_{2} = u_{1} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$u_{2} = u_{1} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$u_{1} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} + 1]$

단계 3.1.2

합의 법칙에 의해 $u_{1} + 1$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

단계 3.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [1]$

단계 3.1.4

$1$ 이 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 3.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 3.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int {u_{2}}^{2} {(u_{2} - 1)}^{- 4} d u_{2}$

단계 4

먼저 $u_{3} = u_{2} - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{3} = d u_{2}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{3}$ 와 $d$ $u_{3}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u_{3} = u_{2} - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$u_{2} - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} - 1]$

단계 4.1.2

합의 법칙에 의해 $u_{2} - 1$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [- 1]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [- 1]$

단계 4.1.4

$- 1$ 이 $u_{2}$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 4.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.2

$u_{3}$ 와 $d u_{3}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int {(u_{3} + 1)}^{2} {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

${(u_{3} + 1)}^{2}$ 을 $(u_{3} + 1) (u_{3} + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int (u_{3} + 1) (u_{3} + 1) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (u_{3} (u_{3} + 1) + 1 (u_{3} + 1)) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 1 + 1 (u_{3} + 1)) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 5.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 1 + 1 u_{3} + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 5.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot 1) {u_{3}}^{- 4} + (1 u_{3} + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 5.6

분배 법칙을 적용합니다.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + u_{3} \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} + (1 u_{3} + 1 \cdot 1) {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 5.7

분배 법칙을 적용합니다.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + u_{3} \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 5.8

$u_{3}$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 5.9

$u_{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int {u_{3}}^{1} u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 5.10

$u_{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 5.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int {u_{3}}^{1 + 1} {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 5.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int {u_{3}}^{2} {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 5.13

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int {u_{3}}^{2 - 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 5.14

$2$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\int {u_{3}}^{- 2} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 5.15

$u_{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int {u_{3}}^{- 2} + u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 5.16

$u_{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 5.17

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{1 - 4} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 5.18

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + 1 u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 5.19

$u_{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + u_{3} \cdot {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 5.20

$u_{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{- 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 5.21

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{1 - 4} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 5.22

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{- 3} + 1 \cdot 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 5.23

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{- 3} + 1 {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 5.24

${u_{3}}^{- 4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int {u_{3}}^{- 2} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 5.25

${u_{3}}^{- 3}$ 를 ${u_{3}}^{- 3}$ 에 더합니다.

$\int {u_{3}}^{- 2} + 2 {u_{3}}^{- 3} + {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int {u_{3}}^{- 2} d u_{3} + \int 2 {u_{3}}^{- 3} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 7

멱의 법칙에 의해 ${u_{3}}^{- 2}$ 를 $u_{3}$ 에 대해 적분하면 $- {u_{3}}^{- 1}$ 가 됩니다.

$- {u_{3}}^{- 1} + C + \int 2 {u_{3}}^{- 3} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 8

$2$ 은 $u_{3}$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- {u_{3}}^{- 1} + C + 2 \int {u_{3}}^{- 3} d u_{3} + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 9

멱의 법칙에 의해 ${u_{3}}^{- 3}$ 를 $u_{3}$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{2} {u_{3}}^{- 2}$ 가 됩니다.

$- {u_{3}}^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2} {u_{3}}^{- 2} + C) + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

${u_{3}}^{- 2}$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$- {u_{3}}^{- 1} + C + 2 (- \frac{{u_{3}}^{- 2}}{2} + C) + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 10.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 ${u_{3}}^{- 2}$ 를 분모로 이동합니다.

$- {u_{3}}^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2 {u_{3}}^{2}} + C) + \int {u_{3}}^{- 4} d u_{3}$

단계 11

멱의 법칙에 의해 ${u_{3}}^{- 4}$ 를 $u_{3}$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{3} {u_{3}}^{- 3}$ 가 됩니다.

$- {u_{3}}^{- 1} + C + 2 (- \frac{1}{2 {u_{3}}^{2}} + C) - \frac{1}{3} {u_{3}}^{- 3} + C$

단계 12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

간단히 합니다.

$- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{3} {u_{3}}^{- 3} + C$

단계 12.2

$- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{3} {u_{3}}^{- 3} + C$ 을 $- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{u_{3}}^{3}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{u_{3}}^{3}} + C$

단계 12.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.3.1

$\frac{1}{{u_{3}}^{3}}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{{u_{3}}^{3} \cdot 3} + C$

단계 12.3.2

${u_{3}}^{3}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$- \frac{1}{u_{3}} - \frac{1}{{u_{3}}^{2}} - \frac{1}{3 {u_{3}}^{3}} + C$

단계 13

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$u_{3}$ 를 모두 $u_{2} - 1$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{u_{2} - 1} - \frac{1}{{(u_{2} - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(u_{2} - 1)}^{3}} + C$

단계 13.2

$u_{2}$ 를 모두 $u_{1} + 1$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{u_{1} + 1 - 1} - \frac{1}{{(u_{1} + 1 - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(u_{1} + 1 - 1)}^{3}} + C$

단계 13.3

$u_{1}$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{x - 1 + 1 - 1} - \frac{1}{{(x - 1 + 1 - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1 + 1 - 1)}^{3}} + C$

단계 14

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{x + 0 - 1} - \frac{1}{{(x - 1 + 1 - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1 + 1 - 1)}^{3}} + C$

단계 14.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{{(x - 1 + 1 - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1 + 1 - 1)}^{3}} + C$

단계 14.3

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{{(x + 0 - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1 + 1 - 1)}^{3}} + C$

단계 14.4

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1 + 1 - 1)}^{3}} + C$

단계 14.5

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x + 0 - 1)}^{3}} + C$

단계 14.6

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} - \frac{1}{3 {(x - 1)}^{3}} + C$