미적분 예제

$\int \frac{2 r}{{(1 - r)}^{7}} d r$

단계 1

먼저 $u = 1 - r$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d r$ 이므로 $- d u = d r$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 1 - r$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d r}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$1 - r$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d r} [1 - r]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 - r$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [- r]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [- r]$

단계 1.1.2.2

$1$ 이 $r$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d r} [- r]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d r} [- r]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 1$ 은 $r$ 에 대해 일정하므로 $r$ 에 대한 $- r$ 의 미분은 $- \frac{d}{d r} [r]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d r} [r]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 1 \cdot 1$

단계 1.1.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$0 - 1$

단계 1.1.4

$0$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- 1$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{- 2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

단계 2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int - \frac{2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{2 (- u + 1)}{u^{7}} d u$

단계 4

$2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (2 \int \frac{- u + 1}{u^{7}} d u)$

단계 5

식을 간단히 합니다.

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단계 5.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \int \frac{- u + 1}{u^{7}} d u$

단계 5.2

$u^{7}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- 2 \int (- u + 1) {(u^{7})}^{- 1} d u$

단계 5.3

${(u^{7})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- 2 \int (- u + 1) u^{7 \cdot - 1} d u$

단계 5.3.2

$7$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- 2 \int (- u + 1) u^{- 7} d u$

단계 6

$(- u + 1) u^{- 7}$ 을 곱합니다.

$- 2 \int - u \cdot u^{- 7} + 1 u^{- 7} d u$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

지수를 더하여 $u$ 에 $u^{- 7}$ 을 곱합니다.

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단계 7.1.1

$u^{- 7}$ 를 옮깁니다.

$- 2 \int - (u^{- 7} u) + 1 u^{- 7} d u$

단계 7.1.2

$u^{- 7}$ 에 $u$ 을 곱합니다.

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단계 7.1.2.1

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$- 2 \int - (u^{- 7} u^{1}) + 1 u^{- 7} d u$

단계 7.1.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- 2 \int - u^{- 7 + 1} + 1 u^{- 7} d u$

단계 7.1.3

$- 7$ 를 $1$ 에 더합니다.

$- 2 \int - u^{- 6} + 1 u^{- 7} d u$

단계 7.2

$u^{- 7}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 2 \int - u^{- 6} + u^{- 7} d u$

단계 8

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$- 2 (\int - u^{- 6} d u + \int u^{- 7} d u)$

단계 9

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- 2 (- \int u^{- 6} d u + \int u^{- 7} d u)$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $u^{- 6}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ 가 됩니다.

$- 2 (- (- \frac{1}{5} u^{- 5} + C) + \int u^{- 7} d u)$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

$u^{- 5}$ 와 $\frac{1}{5}$ 을 묶습니다.

$- 2 (- (- \frac{u^{- 5}}{5} + C) + \int u^{- 7} d u)$

단계 11.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $u^{- 5}$ 를 분모로 이동합니다.

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) + \int u^{- 7} d u)$

단계 12

멱의 법칙에 의해 $u^{- 7}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- \frac{1}{6} u^{- 6}$ 가 됩니다.

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{1}{6} u^{- 6} + C)$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

간단히 합니다.

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단계 13.1.1

$u^{- 6}$ 와 $\frac{1}{6}$ 을 묶습니다.

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{u^{- 6}}{6} + C)$

단계 13.1.2

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $u^{- 6}$ 를 분모로 이동합니다.

$- 2 (- (- \frac{1}{5 u^{5}} + C) - \frac{1}{6 u^{6}} + C)$

단계 13.2

간단히 합니다.

$- 2 (\frac{1}{5 u^{5}} - \frac{1}{6 u^{6}}) + C$

단계 14

$u$ 를 모두 $1 - r$ 로 바꿉니다.

$- 2 (\frac{1}{5 {(1 - r)}^{5}} - \frac{1}{6 {(1 - r)}^{6}}) + C$