미적분 예제

$\int_{0}^{π} \sec^{2} (\frac{t}{4}) d t$

단계 1

먼저 $u = \frac{t}{4}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{4} d t$ 이므로 $4 d u = d t$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = \frac{t}{4}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d t}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\frac{t}{4}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{4}]$

단계 1.1.2

$\frac{1}{4}$ 은 $t$ 에 대해 일정하므로 $t$ 에 대한 $\frac{t}{4}$ 의 미분은 $\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t]$ 입니다.

$\frac{1}{4} \frac{d}{d t} [t]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 는 $n t^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{4} \cdot 1$

단계 1.1.4

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4}$

단계 1.2

$u = \frac{t}{4}$ 의 $t$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \frac{0}{4}$

단계 1.3

$0$ 을 $4$ 로 나눕니다.

$u_{lower} = 0$

단계 1.4

$u = \frac{t}{4}$ 의 $t$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

단계 1.5

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

단계 1.6

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{4}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) (1 \cdot 4) d u$

단계 2.2

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) \cdot 4 d u$

단계 2.3

$\sec^{2} (u)$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} 4 \sec^{2} (u) d u$

단계 3

$4$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} (u) d u$

단계 4

$\tan (u)$ 의 도함수는 $\sec^{2} (u)$ 이므로, $\sec^{2} (u)$ 의 적분값은 $\tan (u)$ 이 됩니다.

$4 (\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{4}})$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{π}{4}$ , $0$ 일 때, $\tan (u)$ 값을 계산합니다.

$4 ((\tan (\frac{π}{4})) - \tan (0))$

단계 5.2

간단히 합니다.

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단계 5.2.1

$\tan (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$4 (1 - \tan (0))$

단계 5.2.2

$\tan (0)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$4 (1 - 0)$

단계 5.2.3

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$4 (1 + 0)$

단계 5.2.4

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$4 \cdot 1$

단계 5.2.5

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4$