미적분 예제

$\int \ln (2 x + 1) d x$

단계 1

먼저 $u = 2 x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = 2 x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$2 x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $2 x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 + 0$

단계 1.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \ln (u) \frac{1}{2} d u$

단계 2

$\ln (u)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\ln (u)}{2} d u$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \ln (u) d u$

단계 4

$w = \ln (u)$ 이고 $dv = 1$ 일 때 $\int w d v = w v - \int v d w$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int u \frac{1}{u} d u)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$u$ 와 $\frac{1}{u}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

단계 5.2

$u$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 5.2.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int \frac{u}{u} d u)$

단계 5.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - \int d u)$

단계 6

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - (u + C))$

단계 7

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} (\ln (u) u - u) + C$

단계 8

$u$ 를 모두 $2 x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - (2 x + 1)) + C$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - (2 x) - 1 \cdot 1) + C$

단계 9.1.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 2 x - 1 \cdot 1) + C$

단계 9.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 2 x - 1) + C$

단계 9.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1)) + \frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

단계 9.3

간단히 합니다.

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단계 9.3.1

$\ln (2 x + 1)$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (- 2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

단계 9.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.3.2.1

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

단계 9.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) + \frac{1}{2} (2 (- x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

단계 9.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) - x + \frac{1}{2} \cdot - 1 + C$

단계 9.3.3

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x + 1) - x + \frac{- 1}{2} + C$

단계 9.4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 9.4.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2} (2 x) + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} \cdot 1 - x + \frac{- 1}{2} + C$

단계 9.4.2

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} \cdot 1 - x + \frac{- 1}{2} + C$

단계 9.4.3

$\frac{\ln (2 x + 1)}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

단계 9.4.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 9.4.4.1

공약수로 약분합니다.

$2 \frac{\ln (2 x + 1)}{2} x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

단계 9.4.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (2 x + 1) x + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

단계 9.4.5

공통 분모를 가지는 분수로 $\ln (2 x + 1) x$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\ln (2 x + 1) x \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

단계 9.4.6

$\ln (2 x + 1) x$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (2 x + 1) x \cdot 2}{2} + \frac{\ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

단계 9.4.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\ln (2 x + 1) x \cdot 2 + \ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

단계 9.4.8

분자를 간단히 합니다.

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단계 9.4.8.1

$\ln (2 x + 1) x \cdot 2 + \ln (2 x + 1)$ 에서 $\ln (2 x + 1)$ 를 인수분해합니다.

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단계 9.4.8.1.1

$\ln (2 x + 1) x \cdot 2$ 에서 $\ln (2 x + 1)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

단계 9.4.8.1.2

$1$ 을 곱합니다.

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1) \cdot 1}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

단계 9.4.8.1.3

$\ln (2 x + 1) (x \cdot 2) + \ln (2 x + 1) \cdot 1$ 에서 $\ln (2 x + 1)$ 를 인수분해합니다.

$\frac{\ln (2 x + 1) (x \cdot 2 + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

단계 9.4.8.2

$x$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2} - x + \frac{- 1}{2} + C$

단계 9.4.9

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2} - x - \frac{1}{2} + C$

단계 9.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- x + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 1}{2} + C$

단계 10

항을 다시 정렬합니다.

$- x + \frac{1}{2} (\ln (2 x + 1) (2 x + 1) - 1) + C$