미적분 예제

$\int (4 x^{3} + x) \sqrt{4 x^{2} + 1} d x$

단계 1

먼저 $u = 4 x^{2} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 8 x d x$ 이므로 $\frac{1}{8} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 4 x^{2} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$4 x^{2} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $4 x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{2}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$8 x + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.4.1

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$8 x + 0$

단계 1.1.4.2

$8 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$8 x$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int u \sqrt{u} \frac{1}{8} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

단계 2.2

지수를 더하여 $u$ 에 $u^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 2.2.1

$u$ 에 $u^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 2.2.1.1

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

단계 2.2.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

단계 2.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \frac{1}{8} d u$

단계 2.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} \frac{1}{8} d u$

단계 2.2.4

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{8} d u$

단계 2.3

$u^{\frac{3}{2}}$ 와 $\frac{1}{8}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{8} d u$

단계 3

$\frac{1}{8}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{8}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{8} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{3}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{8} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{8} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ 을 $\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

단계 5.2

$\frac{1}{8} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ 을 $\frac{1}{20} u^{\frac{5}{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{20} u^{\frac{5}{2}} + C$

단계 6

$u$ 를 모두 $4 x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{20} {(4 x^{2} + 1)}^{\frac{5}{2}} + C$