미적분 예제

$\int \sqrt[3]{x^{3} + 1} x^{5} d x$

단계 1

먼저 $u = x^{3} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 x^{2} d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = x^{3} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x^{3} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$3 x^{2} + 0$

단계 1.1.5

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 x^{2}$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \sqrt[3]{u} {\sqrt[3]{u - 1}}^{3} \frac{1}{3} d u$

단계 2

식을 간단히 합니다.

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단계 2.1

간단히 합니다.

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단계 2.1.1

${\sqrt[3]{u - 1}}^{3}$ 을 $u - 1$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{u - 1}$ 을(를) ${(u - 1)}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \sqrt[3]{u} {({(u - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} \frac{1}{3} d u$

단계 2.1.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int \sqrt[3]{u} {(u - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} \frac{1}{3} d u$

단계 2.1.1.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\int \sqrt[3]{u} {(u - 1)}^{\frac{3}{3}} \frac{1}{3} d u$

단계 2.1.1.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\int \sqrt[3]{u} {(u - 1)}^{\frac{3}{3}} \frac{1}{3} d u$

단계 2.1.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \sqrt[3]{u} {(u - 1)}^{1} \frac{1}{3} d u$

단계 2.1.1.5

간단히 합니다.

$\int \sqrt[3]{u} (u - 1) \frac{1}{3} d u$

단계 2.1.2

$\frac{1}{3}$ 와 $\sqrt[3]{u}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sqrt[3]{u}}{3} (u - 1) d u$

단계 2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} (u - 1) d u$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} u + \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} \cdot - 1 d u$

단계 3.2

$\frac{u^{\frac{1}{3}}}{3}$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$\int \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} u - 1 \cdot \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

단계 3.3

$\frac{u^{\frac{1}{3}}}{3}$ 와 $u$ 을 묶습니다.

$\int \frac{u^{\frac{1}{3}} u}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

단계 3.4

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{u^{\frac{1}{3}} u^{1}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

단계 3.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \frac{u^{\frac{1}{3} + 1}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

단계 3.6

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\int \frac{u^{\frac{1}{3} + \frac{3}{3}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

단계 3.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int \frac{u^{\frac{1 + 3}{3}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

단계 3.8

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{3} - 1 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

단계 4

$- 1 \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3}$ 을 $- \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{u^{\frac{4}{3}}}{3} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

단계 6

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} \int u^{\frac{4}{3}} d u + \int - \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{4}{3}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C) + \int - \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

단계 8

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C) - \int \frac{u^{\frac{1}{3}}}{3} d u$

단계 9

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C) - (\frac{1}{3} \int u^{\frac{1}{3}} d u)$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{3}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} (\frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} + C) - \frac{1}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

간단히 합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

단계 11.2

$\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ 을 $\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

단계 11.3

간단히 합니다.

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단계 11.3.1

$\frac{3}{4}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{3}{4 \cdot 3} u^{\frac{4}{3}} + C$

단계 11.3.2

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{3}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

단계 11.3.3

$3$ 및 $12$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.3.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{3 (1)}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

단계 11.3.3.2

공약수로 약분합니다.

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단계 11.3.3.2.1

$12$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C$

단계 11.3.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C$

단계 11.3.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{7} u^{\frac{7}{3}} - \frac{1}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

단계 12

$u$ 를 모두 $x^{3} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{7} {(x^{3} + 1)}^{\frac{7}{3}} - \frac{1}{4} {(x^{3} + 1)}^{\frac{4}{3}} + C$