미적분 예제

$\int \frac{2 x^{2} + 7 x - 3}{x - 2} d x$

단계 1

먼저 $u = x - 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = x - 2$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x - 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

단계 1.1.4

$- 2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$1 + 0$

단계 1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2} + 7 (u + 2) - 3}{u} d u$

단계 2

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2}}{u} + \frac{7 (u + 2)}{u} + \frac{- 3}{u} d u$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2}}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int \frac{- 3}{u} d u$

단계 4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int \frac{2 {(u + 2)}^{2}}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

단계 5

$2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 \int \frac{{(u + 2)}^{2}}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

단계 6

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

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단계 6.1

${(u + 2)}^{2}$ 을 $(u + 2) (u + 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \int \frac{(u + 2) (u + 2)}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \int \frac{u (u + 2) + 2 (u + 2)}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

단계 6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \int \frac{u \cdot u + u \cdot 2 + 2 (u + 2)}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

단계 6.4

분배 법칙을 적용합니다.

$2 \int \frac{u \cdot u + u \cdot 2 + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

단계 6.5

$u$ 와 $2$ 을 다시 정렬합니다.

$2 \int \frac{u \cdot u + 2 \cdot u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

단계 7

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 \int \frac{u^{1} u + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

단계 8

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$2 \int \frac{u^{1} u^{1} + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

단계 9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$2 \int \frac{u^{1 + 1} + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

단계 10

식을 간단히 합니다.

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단계 10.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$2 \int \frac{u^{2} + 2 u + 2 u + 2 \cdot 2}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

단계 10.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$2 \int \frac{u^{2} + 2 u + 2 u + 4}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

단계 11

$2 u$ 를 $2 u$ 에 더합니다.

$2 \int \frac{u^{2} + 4 u + 4}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

단계 12

$u^{2} + 4 u + 4$ 을 $u$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$u$

$0$

$u^{2}$

$4 u$

$4$

단계 12.2

피제수 $u^{2}$ 의 고차항을 제수 $u$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$u$
	$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$

단계 12.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			+	$u^{2}$	+	$0$

단계 12.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $u^{2} + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$

단계 12.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$

단계 12.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$

단계 12.7

피제수 $4 u$ 의 고차항을 제수 $u$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$

단계 12.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$
					+	$4 u$	+	$0$

단계 12.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $4 u + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$
					-	$4 u$	-	$0$

단계 12.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$u$	+	$4$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$4 u$	+	$4$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$4 u$	+	$4$
					-	$4 u$	-	$0$
							+	$4$

단계 12.11

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$2 \int u + 4 + \frac{4}{u} d u + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

단계 13

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$2 (\int u d u + \int 4 d u + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

단계 14

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$2 (\frac{1}{2} u^{2} + C + \int 4 d u + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

단계 15

상수 규칙을 적용합니다.

$2 (\frac{1}{2} u^{2} + C + 4 u + C + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

단계 16

$\frac{1}{2}$ 와 $u^{2}$ 을 묶습니다.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + \int \frac{4}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

단계 17

$4$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 \int \frac{1}{u} d u) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

단계 18

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + \int \frac{7 (u + 2)}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

단계 19

$7$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $7$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 \int \frac{u + 2}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

단계 20

$u + 2$ 을 $u$ 로 나눕니다.

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단계 20.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$u$

$0$

$u$

$2$

단계 20.2

피제수 $u$ 의 고차항을 제수 $u$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	+	$2$

단계 20.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	+	$2$
			+	$u$	+	$0$

단계 20.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $u + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$0$

단계 20.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$0$
					+	$2$

단계 20.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 \int 1 + \frac{2}{u} d u + \int - \frac{3}{u} d u$

단계 21

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (\int d u + \int \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{3}{u} d u$

단계 22

상수 규칙을 적용합니다.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + \int \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{3}{u} d u$

단계 23

$2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 \int \frac{1}{u} d u) + \int - \frac{3}{u} d u$

단계 24

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) + \int - \frac{3}{u} d u$

단계 25

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{3}{u} d u$

단계 26

$3$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - (3 \int \frac{1}{u} d u)$

단계 27

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - 3 \int \frac{1}{u} d u$

단계 28

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$2 (\frac{u^{2}}{2} + C + 4 u + C + 4 (\ln (| u |) + C)) + 7 (u + C + 2 (\ln (| u |) + C)) - 3 (\ln (| u |) + C)$

단계 29

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 29.1

간단히 합니다.

$u^{2} + 8 u + 8 \ln (| u |) + 7 u + 14 \ln (| u |) - 3 \ln (| u |) + C$

단계 29.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 29.2.1

$8 u$ 를 $7 u$ 에 더합니다.

$u^{2} + 15 u + 8 \ln (| u |) + 14 \ln (| u |) - 3 \ln (| u |) + C$

단계 29.2.2

$8 \ln (| u |)$ 를 $14 \ln (| u |)$ 에 더합니다.

$u^{2} + 15 u + 22 \ln (| u |) - 3 \ln (| u |) + C$

단계 29.2.3

$22 \ln (| u |)$ 에서 $3 \ln (| u |)$ 을 뺍니다.

$u^{2} + 15 u + 19 \ln (| u |) + C$

단계 30

$u$ 를 모두 $x - 2$ 로 바꿉니다.

${(x - 2)}^{2} + 15 (x - 2) + 19 \ln (| x - 2 |) + C$