미적분 예제

$\int \frac{1}{x^{3}} \sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} d x$

단계 1

$\frac{1}{x^{3}}$ 와 $\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}}}{x^{3}} d x$

단계 2

먼저 $u_{2} = 1 - \frac{1}{x^{2}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = \frac{2}{x^{3}} d x$ 이므로 $- d u_{2} = \frac{- 2}{x^{3}} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u_{2} = 1 - \frac{1}{x^{2}}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$1 - \frac{1}{x^{2}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 - \frac{1}{x^{2}}]$

단계 2.1.2

미분합니다.

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단계 2.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 - \frac{1}{x^{2}}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

단계 2.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

단계 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 2.1.3.1

$f (x) = - 1$ , $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 는 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ 이라는 곱의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.1.3.2

$\frac{1}{x^{2}}$ 을 ${(x^{2})}^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$0 - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.1.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ , $g (x) = x^{2}$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 2.1.3.3.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.1.3.3.2

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.1.3.3.3

$u_{1}$ 를 모두 $x^{2}$ 로 바꿉니다.

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.1.3.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 2.1.3.5

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$0 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

단계 2.1.3.6

${(x^{2})}^{- 2}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.1.3.6.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$0 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

단계 2.1.3.6.2

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$0 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

단계 2.1.3.7

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

단계 2.1.3.8

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$0 - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

단계 2.1.3.9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$0 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

단계 2.1.3.10

$1$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$0 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

단계 2.1.3.11

$- 2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

단계 2.1.3.12

$\frac{1}{x^{2}}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$0 + 2 x^{- 3} + 0$

단계 2.1.3.13

$2 x^{- 3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$0 + 2 x^{- 3}$

단계 2.1.4

간단히 합니다.

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단계 2.1.4.1

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$0 + 2 \frac{1}{x^{3}}$

단계 2.1.4.2

항을 묶습니다.

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단계 2.1.4.2.1

$2$ 와 $\frac{1}{x^{3}}$ 을 묶습니다.

$0 + \frac{2}{x^{3}}$

단계 2.1.4.2.2

$0$ 를 $\frac{2}{x^{3}}$ 에 더합니다.

$\frac{2}{x^{3}}$

단계 2.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{2} \sqrt{u_{2}} d u_{2}$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \sqrt{u_{2}} d u_{2}$

단계 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u_{2}}$ 을(를) ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \int {u_{2}}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

단계 5

멱의 법칙에 의해 ${u_{2}}^{\frac{1}{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C)$ 을 $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

단계 6.2

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ 을 $\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + C$

단계 7

$u_{2}$ 를 모두 $1 - \frac{1}{x^{2}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} {(1 - \frac{1}{x^{2}})}^{\frac{3}{2}} + C$