미적분 예제

$\int_{- 1}^{1} 3 x^{2} \sqrt{x^{3} + 5} d x$

단계 1

먼저 $u = x^{3} + 5$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 x^{2} d x$ 이므로 $\frac{1}{3 x^{2}} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = x^{3} + 5$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x^{3} + 5$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 5]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.1.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [5]$

단계 1.1.4

$5$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $5$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $5$ 입니다.

$3 x^{2} + 0$

단계 1.1.5

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 x^{2}$

단계 1.2

$u = x^{3} + 5$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = {(- 1)}^{3} + 5$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$- 1$ 를 $3$ 승 합니다.

$u_{lower} = - 1 + 5$

단계 1.3.2

$- 1$ 를 $5$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 4$

단계 1.4

$u = x^{3} + 5$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1^{3} + 5$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{upper} = 1 + 5$

단계 1.5.2

$1$ 를 $5$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 6$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 6$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{4}^{6} \sqrt{u} d u$

단계 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int_{4}^{6} u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{6}$

단계 4

분수를 통분합니다.

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단계 4.1

$6$ , $4$ 일 때, $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{2}{3} \cdot 6^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

단계 4.2

$\frac{2}{3}$ 와 $6^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}$

단계 4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

간단히 합니다.

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단계 4.3.1.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

단계 4.3.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

단계 4.3.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.3.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}$

단계 4.3.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 2^{3}$

단계 4.3.1.4

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 8$

단계 4.3.2

간단히 합니다.

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단계 4.3.2.1

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 (\frac{2}{3})$

단계 4.3.2.2

$- 8$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 \cdot 2}{3}$

단계 4.3.2.3

$- 8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 16}{3}$

단계 4.3.2.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{2 \cdot 6^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{16}{3}$

소수 형태:

$4.46462563 \dots$