미적분 예제

$\int \frac{4 x^{4} + 3}{4 x^{5} + 15 x + 2} d x$

단계 1

먼저 $u = 4 x^{5} + 15 x + 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = (20 x^{4} + 15) d x$ 이므로 $\frac{1}{5} d u = (4 x^{4} + 3) d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 4 x^{5} + 15 x + 2$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$4 x^{5} + 15 x + 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{5} + 15 x + 2]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $4 x^{5} + 15 x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [4 x^{5}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x^{5}$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.1.3.2

$n = 5$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.1.3.3

$5$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$20 x^{4} + \frac{d}{d x} [15 x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.1.4

$\frac{d}{d x} [15 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.4.1

$15$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $15 x$ 의 미분은 $15 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$20 x^{4} + 15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.1.4.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$20 x^{4} + 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.1.4.3

$15$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$20 x^{4} + 15 + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.1.5

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.5.1

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$20 x^{4} + 15 + 0$

단계 1.1.5.2

$20 x^{4} + 15$ 를 $0$ 에 더합니다.

$20 x^{4} + 15$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{5} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{1}{u}$ 에 $\frac{1}{5}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{u \cdot 5} d u$

단계 2.2

$u$ 의 왼쪽으로 $5$ 이동하기

$\int \frac{1}{5 u} d u$

단계 3

$\frac{1}{5}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{5}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u$

단계 4

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{1}{5} (\ln (| u |) + C)$

단계 5

간단히 합니다.

$\frac{1}{5} \ln (| u |) + C$

단계 6

$u$ 를 모두 $4 x^{5} + 15 x + 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{5} \ln (| 4 x^{5} + 15 x + 2 |) + C$