미적분 예제

$\int_{\frac{1}{6}}^{\frac{1}{2}} \csc (π A) \cot (π A) d A$

단계 1

먼저 $u_{2} = \csc (π A)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = - π \cot (π A) \csc (π A) d A$ 이므로 $- \frac{1}{π} d u_{2} = \cot (π A) \csc (π A) d A$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u_{2} = \csc (π A)$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d A}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\csc (π A)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d A} [\csc (π A)]$

단계 1.1.2

$f (A) = \csc (A)$ , $g (A) = π A$ 일 때 $\frac{d}{d A} [f (g (A))]$ 는 $f' (g (A)) g' (A)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.2.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u_{1}$ 를 $π A$ 로 바꿉니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d A} [π A]$

단계 1.1.2.2

$\csc (u_{1})$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ 입니다.

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d A} [π A]$

단계 1.1.2.3

$u_{1}$ 를 모두 $π A$ 로 바꿉니다.

$- \csc (π A) \cot (π A) \frac{d}{d A} [π A]$

단계 1.1.3

미분합니다.

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단계 1.1.3.1

$π$ 은 $A$ 에 대해 일정하므로 $A$ 에 대한 $π A$ 의 미분은 $π \frac{d}{d A} [A]$ 입니다.

$- \csc (π A) \cot (π A) (π \frac{d}{d A} [A])$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d A} [A^{n}]$ 는 $n A^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- \csc (π A) \cot (π A) (π \cdot 1)$

단계 1.1.3.3

식을 간단히 합니다.

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단계 1.1.3.3.1

$π$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \csc (π A) \cot (π A) π$

단계 1.1.3.3.2

$- \csc (π A) \cot (π A) π$ 인수를 다시 정렬합니다.

$- π \cot (π A) \csc (π A)$

단계 1.2

$u_{2} = \csc (π A)$ 의 $A$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \csc (π \frac{1}{6})$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$π$ 와 $\frac{1}{6}$ 을 묶습니다.

$u_{lower} = \csc (\frac{π}{6})$

단계 1.3.2

$\csc (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $2$ 입니다.

$u_{lower} = 2$

단계 1.4

$u_{2} = \csc (π A)$ 의 $A$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \csc (π \frac{1}{2})$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

$π$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$u_{upper} = \csc (\frac{π}{2})$

단계 1.5.2

$\csc (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{upper} = 1$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 1$

단계 1.7

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{2}^{1} - \frac{- 1}{- π} d u_{2}$

단계 2

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\int_{2}^{1} - \frac{1}{π} d u_{2}$

단계 3

상수 규칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{π} u_{2}]_{2}^{1}$

단계 4

답을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$1$ , $2$ 일 때, $- \frac{1}{π} u_{2}$ 값을 계산합니다.

$(- \frac{1}{π} \cdot 1) + \frac{1}{π} \cdot 2$

단계 4.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{π} + \frac{1}{π} \cdot 2$

단계 4.3

$\frac{1}{π}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{π} + \frac{2}{π}$

단계 4.4

간단히 합니다.

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단계 4.4.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{- 1 + 2}{π}$

단계 4.4.2

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{1}{π}$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{π}$

소수 형태:

$0.31830988 \dots$