미적분 예제

$\int_{0}^{1} 2 x {(x^{2} + 1)}^{2} d x$

단계 1

먼저 $u = x^{2} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2 x} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = x^{2} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x^{2} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 x + 0$

단계 1.1.5

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 1.2

$u = x^{2} + 1$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 0^{2} + 1$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = 0 + 1$

단계 1.3.2

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 1$

단계 1.4

$u = x^{2} + 1$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 1^{2} + 1$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{upper} = 1 + 1$

단계 1.5.2

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 2$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{2} u^{2} d u$

단계 2

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{2}$

단계 3

분수를 통분합니다.

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단계 3.1

$2$ , $1$ 일 때, $\frac{1}{3} u^{3}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 3.2

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 3.3

$\frac{1}{3}$ 와 $8$ 을 묶습니다.

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3}$

단계 3.4

식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1$

단계 3.4.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3}$

단계 3.4.3

간단히 합니다.

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단계 3.4.3.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{8 - 1}{3}$

단계 3.4.3.2

$8$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{7}{3}$

단계 4

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{7}{3}$

소수 형태:

$2.\overline{3}$

대분수 형식:

$2 \frac{1}{3}$