미적분 예제

$\int \frac{3^{2 x}}{1 + 3^{2 x}} d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u_{1} = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 1.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 1.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{3^{u_{1}}}{1 + 3^{u_{1}}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{3^{u_{1}}}{1 + 3^{u_{1}}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{3^{u_{1}}}{(1 + 3^{u_{1}}) \cdot 2} d u_{1}$

단계 2.2

$1 + 3^{u_{1}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int \frac{3^{u_{1}}}{2 (1 + 3^{u_{1}})} d u_{1}$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{3^{u_{1}}}{1 + 3^{u_{1}}} d u_{1}$

단계 4

먼저 $u_{2} = 1 + 3^{u_{1}}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 3^{u_{1}} \ln (3) d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{\ln (3)} d u_{2} = 3^{u_{1}} d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 4.1

$u_{2} = 1 + 3^{u_{1}}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

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단계 4.1.1

$1 + 3^{u_{1}}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [1 + 3^{u_{1}}]$

단계 4.1.2

미분합니다.

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단계 4.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 + 3^{u_{1}}$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}]$

단계 4.1.2.2

$1$ 이 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [3^{u_{1}}]$

단계 4.1.3

$a$ = $3$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 은 $a^{u_{1}} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 3^{u_{1}} \ln (3)$

단계 4.1.4

$0$ 를 $3^{u_{1}} \ln (3)$ 에 더합니다.

$3^{u_{1}} \ln (3)$

단계 4.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{\ln (3)} d u_{2}$

단계 5

$\frac{1}{u_{2}}$ 에 $\frac{1}{\ln (3)}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2} \ln (3)} d u_{2}$

단계 6

$\frac{1}{\ln (3)}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{\ln (3)}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{\ln (3)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{1}{\ln (3)}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{\ln (3) \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 7.2

$\ln (3)$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{2 \ln (3)} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

단계 8

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$\frac{1}{2 \ln (3)} (\ln (| u_{2} |) + C)$

단계 9

간단히 합니다.

$\frac{1}{2 \ln (3)} \ln (| u_{2} |) + C$

단계 10

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 10.1

$u_{2}$ 를 모두 $1 + 3^{u_{1}}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 \ln (3)} \ln (| 1 + 3^{u_{1}} |) + C$

단계 10.2

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2 \ln (3)} \ln (| 1 + 3^{2 x} |) + C$