미적분 예제

$\int \frac{x}{\sqrt{2 x - 1}} d x$

단계 1

먼저 $u = 2 x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 2 x - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$2 x - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $2 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.4.1

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$2 + 0$

단계 1.1.4.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$\frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{2}{2} \cdot \frac{\frac{u}{2} + \frac{1}{2}}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} d u$

단계 2.2

조합합니다.

$\int \frac{2 (\frac{u}{2} + \frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.4.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{2 \frac{u}{2} + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{u + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.5.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{u + 2 (\frac{1}{2})}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.5.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{u + 1}{2 \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.6

$\frac{u + 1}{2 \sqrt{u}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u + 1}{2 \sqrt{u} \cdot 2} d u$

단계 2.7

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u + 1}{4 \sqrt{u}} d u$

단계 3

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \int \frac{u + 1}{\sqrt{u}} d u$

단계 4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} \int \frac{u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{4} \int (u + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 4.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{4} \int (u + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 4.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} \int (u + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 4.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{4} \int (u + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5

$(u + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ 을 전개합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5.2

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{4} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{4} \int u^{1 - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5.6

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5.7

$u^{- \frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{4} (\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + 2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

단계 9

간단히 합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

단계 10

$u$ 를 모두 $2 x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}) + C$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

$\frac{2}{3}$ 와 ${(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}) + C$

단계 11.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

단계 11.3

$2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{4} (\frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

단계 11.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + C$

단계 11.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 11.5.1

$2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 3$ 에서 $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

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단계 11.5.1.1

${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 3 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

단계 11.5.1.2

$2 {(2 x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ 에서 $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 \cdot 3 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

단계 11.5.1.3

$2 \cdot 3 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에서 $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (3)}{3} + C$

단계 11.5.1.4

$2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}}) + 2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (3)$ 에서 $2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x - 1)}^{\frac{2}{2}} + 3)}{3} + C$

단계 11.5.2

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} ({(2 x - 1)}^{1} + 3)}{3} + C$

단계 11.5.3

간단히 합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x - 1 + 3)}{3} + C$

단계 11.5.4

$- 1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2)}{3} + C$

단계 11.5.5

$2 x + 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 11.5.5.1

$2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 2)}{3} + C$

단계 11.5.5.2

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 2 (1))}{3} + C$

단계 11.5.5.3

$2 (x) + 2 (1)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 (x + 1))}{3} + C$

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 (x + 1)}{3} + C$

단계 11.5.6

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)}{3} + C$

단계 11.6

조합합니다.

$\frac{1 (4 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1))}{4 \cdot 3} + C$

단계 11.7

공약수로 약분합니다.

$\frac{1 (4 {(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1))}{4 \cdot 3} + C$

단계 11.8

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1 ({(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1))}{3} + C$

단계 11.9

${(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{{(2 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x + 1)}{3} + C$