미적분 예제

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} \csc (x) d x$

단계 1

해당 적분은 치환적분으로 풀 수 없습니다. Mathway에서 다른 방법을 사용합니다.

단계 2

$\csc (x)$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ 입니다.

$\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)]_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}}$

단계 3

답을 간단히 합니다.

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단계 3.1

$\frac{3 π}{4}$ , $\frac{π}{4}$ 일 때, $\ln (| \csc (x) - \cot (x) |)$ 값을 계산합니다.

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \csc (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{π}{4}) |)$

단계 3.2

간단히 합니다.

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단계 3.2.1

$\csc (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\sqrt{2}$ 입니다.

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - \cot (\frac{π}{4}) |)$

단계 3.2.2

$\cot (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 \cdot 1 |)$

단계 3.2.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |) - \ln (| \sqrt{2} - 1 |)$

단계 3.2.4

로그의 나눗셈의 성질 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 을 이용합니다.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

단계 3.3

간단히 합니다.

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단계 3.3.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제2사분면에서 코탄젠트가 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - - \cot (\frac{π}{4}) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

단계 3.3.2

$\cot (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - (- 1 \cdot 1) |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

단계 3.3.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) - - 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

단계 3.3.4

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{3 π}{4}) + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

단계 3.3.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.3.5.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$\ln (\frac{| \csc (\frac{π}{4}) + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

단계 3.3.5.2

$\csc (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\sqrt{2}$ 입니다.

$\ln (\frac{| \sqrt{2} + 1 |}{| \sqrt{2} - 1 |})$

단계 3.3.5.3

$\sqrt{2} + 1$ 은 약 $2.41421356$ 로 양수이므로 절댓값 기호를 없앱니다.

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{| \sqrt{2} - 1 |})$

단계 3.3.6

$\sqrt{2} - 1$ 은 약 $0.41421356$ 로 양수이므로 절댓값 기호를 없앱니다.

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1})$

단계 4

간단히 합니다.

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단계 4.1

$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ 에 $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$ 을 곱합니다.

$\ln (\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1})$

단계 4.2

$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ 에 $\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1}$ 을 곱합니다.

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1) (\sqrt{2} + 1)})$

단계 4.3

FOIL 계산법을 이용하여 분모를 전개합니다.

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{{\sqrt{2}}^{2} + \sqrt{2} - \sqrt{2} - 1})$

단계 4.4

간단히 합니다.

$\ln (\frac{(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)}{1})$

단계 4.5

$(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\ln ((\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1))$

단계 4.6

$\ln ((\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} + 1))$ 을 $\ln (\sqrt{2} + 1) + \ln (\sqrt{2} + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (\sqrt{2} + 1) + \ln (\sqrt{2} + 1)$

단계 4.7

$\ln (\sqrt{2} + 1)$ 를 $\ln (\sqrt{2} + 1)$ 에 더합니다.

$2 \ln (\sqrt{2} + 1)$

단계 5

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$2 \ln (\sqrt{2} + 1)$

소수 형태:

$1.76274717 \dots$