미적분 예제

$\int \frac{x}{\sqrt[4]{x + 2}} d x$

단계 1

먼저 $u = x + 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = x + 2$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x + 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.1.4

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$1 + 0$

단계 1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{u - 2}{\sqrt[4]{u}} d u$

단계 2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[4]{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{4}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{u - 2}{u^{\frac{1}{4}}} d u$

단계 2.2

$u^{\frac{1}{4}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int (u - 2) {(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1} d u$

단계 2.3

${(u^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int (u - 2) u^{\frac{1}{4} \cdot - 1} d u$

단계 2.3.2

$\frac{1}{4}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int (u - 2) u^{\frac{- 1}{4}} d u$

단계 2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int (u - 2) u^{- \frac{1}{4}} d u$

단계 3

$(u - 2) u^{- \frac{1}{4}}$ 을 전개합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int u \cdot u^{- \frac{1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

단계 3.2

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int u^{1} u^{- \frac{1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

단계 3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{1 - \frac{1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

단계 3.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\int u^{\frac{4}{4} - \frac{1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

단계 3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int u^{\frac{4 - 1}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

단계 3.6

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\int u^{\frac{3}{4}} - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int u^{\frac{3}{4}} d u + \int - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{3}{4}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}}$ 가 됩니다.

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + C + \int - 2 u^{- \frac{1}{4}} d u$

단계 6

$- 2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + C - 2 \int u^{- \frac{1}{4}} d u$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{4}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}}$ 가 됩니다.

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + C - 2 (\frac{4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C)$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

간단히 합니다.

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} - 2 (\frac{4}{3}) u^{\frac{3}{4}} + C$

단계 8.2

간단히 합니다.

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단계 8.2.1

$- 2$ 와 $\frac{4}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + \frac{- 2 \cdot 4}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$

단계 8.2.2

$- 2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} + \frac{- 8}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$

단계 8.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{4}{7} u^{\frac{7}{4}} - \frac{8}{3} u^{\frac{3}{4}} + C$

단계 9

$u$ 를 모두 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{4}{7} {(x + 2)}^{\frac{7}{4}} - \frac{8}{3} {(x + 2)}^{\frac{3}{4}} + C$