미적분 예제

$\int \frac{1}{\sqrt{x} \sqrt{1 - x}} d x$

단계 1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{x (1 - x)}} d x$

단계 2

제곱식을 완성합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

식을 간단히 합니다.

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단계 2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$x \cdot 1 + x (- x)$

단계 2.1.2

$x$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$x + x (- x)$

단계 2.1.3

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$x - x \cdot x$

단계 2.1.4

지수를 더하여 $x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

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단계 2.1.4.1

$x$ 를 옮깁니다.

$x - (x \cdot x)$

단계 2.1.4.2

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x - x^{2}$

단계 2.1.5

$x$ 와 $- x^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$- x^{2} + x$

단계 2.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = - 1$

$b = 1$

$c = 0$

단계 2.3

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 2.4

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

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단계 2.4.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{1}{2 \cdot - 1}$

단계 2.4.2

$1$ 및 $- 1$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.4.2.1

$1$ 을 $- 1 (- 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 \cdot - 1}$

단계 2.4.2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$d = - \frac{1}{2}$

단계 2.5

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

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단계 2.5.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot - 1}$

단계 2.5.2

우변을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.5.2.1.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot - 1}$

단계 2.5.2.1.2

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{1}{- 4}$

단계 2.5.2.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$e = 0 - - \frac{1}{4}$

단계 2.5.2.1.4

$- - \frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.5.2.1.4.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$e = 0 + 1 (\frac{1}{4})$

단계 2.5.2.1.4.2

$\frac{1}{4}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$e = 0 + \frac{1}{4}$

단계 2.5.2.2

$0$ 를 $\frac{1}{4}$ 에 더합니다.

$e = \frac{1}{4}$

단계 2.6

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}$ 에 대입합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x - \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{4}}} d x$

단계 3

먼저 $u = x - \frac{1}{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1

$u = x - \frac{1}{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$x - \frac{1}{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - \frac{1}{2}]$

단계 3.1.2

합의 법칙에 의해 $x - \frac{1}{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

단계 3.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2}]$

단계 3.1.4

$- \frac{1}{2}$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- \frac{1}{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \frac{1}{2}$ 입니다.

$1 + 0$

단계 3.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 3.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1}{4}}} d u$

단계 4

지수를 사용하여 수식을 세웁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1^{2}}{4}}} d u$

단계 4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}}}} d u$

단계 5

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 을 ${(\frac{1}{2})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}}} d u$

단계 6

$- u^{2}$ 와 ${(\frac{1}{2})}^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$\int \frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - u^{2}}} d u$

단계 7

$\frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - u^{2}}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\arcsin (\frac{u}{\frac{1}{2}})$ 입니다

$\arcsin (\frac{u}{\frac{1}{2}}) + C$

단계 8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$\frac{1}{2}$ 로 나누기 위해 분수의 역수를 곱합니다.

$\arcsin (u \cdot 2) + C$

단계 8.2

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\arcsin (2 u) + C$

단계 9

$u$ 를 모두 $x - \frac{1}{2}$ 로 바꿉니다.

$\arcsin (2 (x - \frac{1}{2})) + C$

단계 10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\arcsin (2 x + 2 (- \frac{1}{2})) + C$

단계 10.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.2.1

$- \frac{1}{2}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$\arcsin (2 x + 2 (\frac{- 1}{2})) + C$

단계 10.2.2

공약수로 약분합니다.

$\arcsin (2 x + 2 (\frac{- 1}{2})) + C$

단계 10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\arcsin (2 x - 1) + C$