미적분 예제

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{4 + x^{2}}} d x$

단계 1

먼저 $u = 4 + x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 4 + x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$4 + x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 + x^{2}]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $4 + x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.3

$4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $4$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 x$

단계 1.1.5

$0$ 를 $2 x$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{{\sqrt{u - 4}}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

${\sqrt{u - 4}}^{2}$ 을 $u - 4$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u - 4}$ 을(를) ${(u - 4)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{{({(u - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{{(u - 4)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{{(u - 4)}^{1}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.1.5

간단히 합니다.

$\int \frac{u - 4}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.2

$\frac{u - 4}{\sqrt{u}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u - 4}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

단계 2.3

$\sqrt{u}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int \frac{u - 4}{2 \sqrt{u}} d u$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 4}{\sqrt{u}} d u$

단계 4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 4}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \int (u - 4) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 4.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 4.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 4.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} \int (u - 4) u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5

$(u - 4) u^{- \frac{1}{2}}$ 을 전개합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5.2

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2} \int u^{1 - \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5.6

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (\int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C + \int - 4 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

단계 8

$- 4$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - 4 \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C - 4 (2 u^{\frac{1}{2}} + C))$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 u^{\frac{1}{2}}) + C$

단계 10.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} - 8 u^{\frac{1}{2}}) + C$

단계 11

$u$ 를 모두 $4 + x^{2}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 8 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

$\frac{2}{3}$ 와 ${(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$

단계 12.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 8 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

단계 12.3

$- 8 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 8 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

단계 12.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 8 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + C$

단계 12.5

$3$ 에 $- 8$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 24 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3} + C$

단계 12.6

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 24 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3}$ 을 곱합니다.

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단계 12.6.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 24 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 24 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} + C$

단계 12.6.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 24 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{6} + C$

단계 13

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{6} (2 {(4 + x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 24 {(4 + x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + C$