미적분 예제

$\int_{\frac{6}{π}}^{\frac{2}{3 π}} \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x^{2}} d x$

단계 1

먼저 $u = \frac{1}{x}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ 이므로 $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = \frac{1}{x}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\frac{1}{x}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

단계 1.1.2

$\frac{1}{x}$ 을 $x^{- 1}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

단계 1.1.3

$n = - 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- x^{- 2}$

단계 1.1.4

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{x^{2}}$

단계 1.2

$u = \frac{1}{x}$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \frac{1}{\frac{6}{π}}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$u_{lower} = 1 \frac{π}{6}$

단계 1.3.2

$\frac{π}{6}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

단계 1.4

$u = \frac{1}{x}$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \frac{1}{\frac{2}{3 π}}$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$u_{upper} = 1 \frac{3 π}{2}$

단계 1.5.2

$\frac{3 π}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = \frac{3 π}{2}$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = \frac{π}{6}$

$u_{upper} = \frac{3 π}{2}$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}} - \cos (u) d u$

단계 2

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}} \cos (u) d u$

단계 3

$\cos (u)$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\sin (u)$ 입니다.

$- (\sin (u)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{3 π}{2}})$

단계 4

$\frac{3 π}{2}$ , $\frac{π}{6}$ 일 때, $\sin (u)$ 값을 계산합니다.

$- ((\sin (\frac{3 π}{2})) - \sin (\frac{π}{6}))$

단계 5

$\sin (\frac{π}{6})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$- (\sin (\frac{3 π}{2}) - \frac{1}{2})$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 6.1.1

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다. 제4사분면에서 사인이 음수이므로 수식에 마이너스 부호를 붙입니다.

$- (- \sin (\frac{π}{2}) - \frac{1}{2})$

단계 6.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$- (- 1 \cdot 1 - \frac{1}{2})$

단계 6.1.3

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (- 1 - \frac{1}{2})$

단계 6.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$- (- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

단계 6.3

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

단계 6.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{- 1 \cdot 2 - 1}{2}$

단계 6.5

분자를 간단히 합니다.

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단계 6.5.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{- 2 - 1}{2}$

단계 6.5.2

$- 2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{- 3}{2}$

단계 6.6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- - \frac{3}{2}$

단계 6.7

$- - \frac{3}{2}$ 을 곱합니다.

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단계 6.7.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (\frac{3}{2})$

단계 6.7.2

$\frac{3}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{3}{2}$

단계 7

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{3}{2}$

소수 형태:

$1.5$

대분수 형식:

$1 \frac{1}{2}$