미적분 예제

$\int \ln (\frac{\sqrt{1 - x}}{x + 1}) d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u_{1} = x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) d u_{1}$

단계 2

$u = \ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}})$ 이고 $d v = 1$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - \int u_{1} (- \frac{u_{1} - 4}{(2 u_{1}) (u_{1} - 2)}) d u_{1}$

단계 3

간단히 합니다.

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단계 3.1

$u_{1}$ 와 $\frac{u_{1} - 4}{2 u_{1} (u_{1} - 2)}$ 을 묶습니다.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - \int - \frac{u_{1} (u_{1} - 4)}{2 u_{1} (u_{1} - 2)} d u_{1}$

단계 3.2

$u_{1}$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.2.1

공약수로 약분합니다.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - \int - \frac{u_{1} (u_{1} - 4)}{2 u_{1} (u_{1} - 2)} d u_{1}$

단계 3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - \int - \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$

단계 4

$- 1$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} - - \int \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + 1 \int \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$

단계 5.2

$\int \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \int \frac{u_{1} - 4}{2 (u_{1} - 2)} d u_{1}$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} \int \frac{u_{1} - 4}{u_{1} - 2} d u_{1}$

단계 7

$u_{1} - 4$ 을 $u_{1} - 2$ 로 나눕니다.

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단계 7.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$u_{1}$

$2$

$u_{1}$

$4$

단계 7.2

피제수 $u_{1}$ 의 고차항을 제수 $u_{1}$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$1$
	$u_{1}$	-	$2$		$u_{1}$	-	$4$

단계 7.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$1$
$u_{1}$	-	$2$		$u_{1}$	-	$4$
			+	$u_{1}$	-	$2$

단계 7.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $u_{1} - 2$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$1$
$u_{1}$	-	$2$		$u_{1}$	-	$4$
			-	$u_{1}$	+	$2$

단계 7.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$1$
$u_{1}$	-	$2$		$u_{1}$	-	$4$
			-	$u_{1}$	+	$2$
					-	$2$

단계 7.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} \int 1 - \frac{2}{u_{1} - 2} d u_{1}$

단계 8

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (\int d u_{1} + \int - \frac{2}{u_{1} - 2} d u_{1})$

단계 9

상수 규칙을 적용합니다.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int - \frac{2}{u_{1} - 2} d u_{1})$

단계 10

$- 1$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - \int \frac{2}{u_{1} - 2} d u_{1})$

단계 11

$2$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - (2 \int \frac{1}{u_{1} - 2} d u_{1}))$

단계 12

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - 2 \int \frac{1}{u_{1} - 2} d u_{1})$

단계 13

먼저 $u_{2} = u_{1} - 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 13.1

$u_{2} = u_{1} - 2$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

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단계 13.1.1

$u_{1} - 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 2]$

단계 13.1.2

합의 법칙에 의해 $u_{1} - 2$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$

단계 13.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$

단계 13.1.4

$- 2$ 이 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$1 + 0$

단계 13.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 13.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

단계 14

$\frac{1}{u_{2}}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u_{2} |)$ 입니다.

$\ln (\frac{\sqrt{1 - (u_{1} - 1)}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} + C - 2 (\ln (| u_{2} |) + C))$

단계 15

간단히 합니다.

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단계 15.1

간단히 합니다.

$\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} - 2 \ln (| u_{2} |)) + C$

단계 15.2

$\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{1}{2} (u_{1} - 2 \ln (| u_{2} |)) + C$ 을 $\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + \frac{u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

단계 15.3

간단히 합니다.

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단계 15.3.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

단계 15.3.2

$\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} \cdot 2}{2} + \frac{u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

단계 15.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} \cdot 2 + u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

단계 15.3.4

$\ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- u_{1} + 2}}{u_{1}}) u_{1} + u_{1}}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

단계 16

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

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단계 16.1

$u_{1}$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- (x + 1) + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| u_{2} |) + C$

단계 16.2

$u_{2}$ 를 모두 $u_{1} - 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- (x + 1) + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| u_{1} - 2 |) + C$

단계 16.3

$u_{1}$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- (x + 1) + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x + 1 - 2 |) + C$

단계 17

간단히 합니다.

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단계 17.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- x - 1 \cdot 1 + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x + 1 - 2 |) + C$

단계 17.2

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- x - 1 + 2}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x + 1 - 2 |) + C$

단계 17.3

$- 1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- x + 1}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x + 1 - 2 |) + C$

단계 17.4

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{2 \ln (\frac{\sqrt{- x + 1}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1}{2} - \ln (| x - 1 |) + C$

단계 18

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} (2 \ln (\frac{\sqrt{- x + 1}}{x + 1}) (x + 1) + x + 1) - \ln (| x - 1 |) + C$