미적분 예제

$\int \sin^{5} (x) \cos^{2} (x) d x$

단계 1

$\sin^{4} (x)$ 로 인수분해합니다.

$\int \sin^{4} (x) \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

단계 2

인수분해하여 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

단계 2.2

${\sin (x)}^{2 (2)}$ 을 지수 형태로 바꿔 씁니다.

$\int {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

단계 3

피타고라스 항등식을 이용하여 $\sin^{2} (x)$ 를 $1 - \cos^{2} (x)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) \cos^{2} (x) d x$

단계 4

먼저 $u = \cos (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \sin (x) d x$ 이므로 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u = \cos (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$\cos (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 4.1.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- \sin (x)$

단계 4.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int - {(1 - u^{2})}^{2} u^{2} d u$

단계 5

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int {(1 - u^{2})}^{2} u^{2} d u$

단계 6

${(1 - u^{2})}^{2} u^{2}$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

${(1 - u^{2})}^{2}$ 을 $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ 로 바꿔 씁니다.

$- \int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) u^{2} d u$

단계 6.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- \int (1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) u^{2} d u$

단계 6.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- \int (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2})) u^{2} d u$

단계 6.4

분배 법칙을 적용합니다.

$- \int (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) u^{2} d u$

단계 6.5

분배 법칙을 적용합니다.

$- \int (1 \cdot 1 + 1 (- u^{2})) u^{2} + (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) u^{2} d u$

단계 6.6

분배 법칙을 적용합니다.

$- \int 1 \cdot 1 u^{2} + 1 (- u^{2}) u^{2} + (- u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2})) u^{2} d u$

단계 6.7

분배 법칙을 적용합니다.

$- \int 1 \cdot 1 u^{2} + 1 (- u^{2}) u^{2} - u^{2} \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) u^{2} d u$

단계 6.8

$u^{2}$ 를 옮깁니다.

$- \int 1 \cdot 1 u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - u^{2} (- u^{2}) u^{2} d u$

단계 6.9

$u^{2}$ 를 옮깁니다.

$- \int 1 \cdot 1 u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

단계 6.10

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \int 1 u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

단계 6.11

$u^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \int u^{2} + 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

단계 6.12

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \int u^{2} - u^{2} u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

단계 6.13

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$- \int u^{2} - (u^{2} u^{2}) - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

단계 6.14

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \int u^{2} - u^{2 + 2} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

단계 6.15

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \int u^{2} - u^{4} - 1 \cdot 1 u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

단계 6.16

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{2} u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

단계 6.17

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$- \int u^{2} - u^{4} - (u^{2} u^{2}) - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

단계 6.18

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{2 + 2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

단계 6.19

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

단계 6.20

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + 1 u^{2} u^{2} u^{2} d u$

단계 6.21

$u^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{2} u^{2} u^{2} d u$

단계 6.22

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{2 + 2} u^{2} d u$

단계 6.23

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{4} u^{2} d u$

단계 6.24

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{4 + 2} d u$

단계 6.25

$4$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \int u^{2} - u^{4} - u^{4} + u^{6} d u$

단계 6.26

$- u^{4}$ 에서 $u^{4}$ 을 뺍니다.

$- \int u^{2} - 2 u^{4} + u^{6} d u$

단계 6.27

$- 2 u^{4}$ 와 $u^{6}$ 을 다시 정렬합니다.

$- \int u^{2} + u^{6} - 2 u^{4} d u$

단계 6.28

$u^{2}$ 를 옮깁니다.

$- \int u^{6} - 2 u^{4} + u^{2} d u$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$- (\int u^{6} d u + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{2} d u)$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{6}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{7} u^{7}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{2} d u)$

단계 9

$- 2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 \int u^{4} d u + \int u^{2} d u)$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $u^{4}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} u^{5}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int u^{2} d u)$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

단계 12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 12.1.1

$\frac{1}{5}$ 와 $u^{5}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{1}{7} u^{7} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

단계 12.1.2

$\frac{1}{7}$ 와 $u^{7}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{u^{7}}{7} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{1}{3} u^{3} + C)$

단계 12.1.3

$\frac{1}{3}$ 와 $u^{3}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{u^{7}}{7} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{u^{3}}{3} + C)$

단계 12.2

간단히 합니다.

$- (\frac{u^{7}}{7} - \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{u^{3}}{3}) + C$

단계 13

$u$ 를 모두 $\cos (x)$ 로 바꿉니다.

$- (\frac{\cos^{7} (x)}{7} - \frac{2 \cos^{5} (x)}{5} + \frac{\cos^{3} (x)}{3}) + C$

단계 14

항을 다시 정렬합니다.

$- (\frac{1}{7} \cos^{7} (x) - \frac{2}{5} \cos^{5} (x) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x)) + C$