미적분 예제

$\int_{- \frac{π}{4}}^{0} \tan (x) \sec^{2} (x) d x$

단계 1

먼저 $u = \sec (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ 이므로 $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = \sec (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$\sec (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

단계 1.1.2

$\sec (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\sec (x) \tan (x)$ 입니다.

$\sec (x) \tan (x)$

단계 1.2

$u = \sec (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \sec (- \frac{π}{4})$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

각이 $0$ 보다 크거나 같고 $2 π$ 보다 작을 때까지 한 바퀴인 $2 π$ 를 여러 번 더합니다.

$u_{lower} = \sec (\frac{7 π}{4})$

단계 1.3.2

제1사분면에서 동일한 삼각값을 갖는 각도를 찾아 기준 각도를 적용합니다.

$u_{lower} = \sec (\frac{π}{4})$

단계 1.3.3

$\sec (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{2}{\sqrt{2}}$ 입니다.

$u_{lower} = \frac{2}{\sqrt{2}}$

단계 1.3.4

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = \frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

단계 1.3.5

분모를 결합하고 간단히 합니다.

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단계 1.3.5.1

$\frac{2}{\sqrt{2}}$ 에 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 을 곱합니다.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

단계 1.3.5.2

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

단계 1.3.5.3

$\sqrt{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

단계 1.3.5.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

단계 1.3.5.5

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

단계 1.3.5.6

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 1.3.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 1.3.5.6.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 1.3.5.6.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

단계 1.3.5.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.5.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

단계 1.3.5.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

단계 1.3.5.6.5

지수값을 계산합니다.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

단계 1.3.6

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 1.3.6.1

공약수로 약분합니다.

$u_{lower} = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

단계 1.3.6.2

$\sqrt{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$u_{lower} = \sqrt{2}$

단계 1.4

$u = \sec (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \sec (0)$

단계 1.5

$\sec (0)$ 의 정확한 값은 $1$ 입니다.

$u_{upper} = 1$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = \sqrt{2}$

$u_{upper} = 1$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{\sqrt{2}}^{1} u d u$

단계 2

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} u^{2}]_{\sqrt{2}}^{1}$

단계 3

근호를 사용하여 지수를 없애고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.1

$1$ , $\sqrt{2}$ 일 때, $\frac{1}{2} u^{2}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}$

단계 3.2

식을 간단히 합니다.

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단계 3.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}$

단계 3.2.2

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {\sqrt{2}}^{2}$

단계 3.3

${\sqrt{2}}^{2}$ 을 $2$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2}$ 을(를) $2^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

단계 3.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

단계 3.3.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

단계 3.3.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.4.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

단계 3.3.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2^{1}$

단계 3.3.5

지수값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 2$

단계 3.4

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} - 2 (\frac{1}{2})$

단계 3.4.1.2

$- 2$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} + \frac{- 2}{2}$

단계 3.4.1.3

$- 2$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 3.4.1.3.1

$- 2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2}$

단계 3.4.1.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.1.3.2.1

$2$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

단계 3.4.1.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

단계 3.4.1.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} + \frac{- 1}{1}$

단계 3.4.1.3.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{2} - 1$

단계 3.4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.4.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 1$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

단계 3.4.2.2

$- 1$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

단계 3.4.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

단계 3.4.2.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 3.4.2.4.1

$- 1$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1 - 2}{2}$

단계 3.4.2.4.2

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$\frac{- 1}{2}$

단계 3.4.2.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{2}$

단계 4

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- \frac{1}{2}$

소수 형태:

$- 0.5$