미적분 예제

$\int 3 x^{5} \sqrt{x^{3} + 1} d x$

단계 1

먼저 $u = x^{3} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 x^{2} d x$ 이므로 $\frac{1}{3 x^{2}} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = x^{3} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x^{3} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{3} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$3 x^{2} + 0$

단계 1.1.5

$3 x^{2}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3 x^{2}$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int {\sqrt[3]{u - 1}}^{3} \sqrt{u} d u$

단계 2

근호를 사용하여 지수를 없애고 식을 간단히 합니다.

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단계 2.1

${\sqrt[3]{u - 1}}^{3}$ 을 $u - 1$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt[3]{u - 1}$ 을(를) ${(u - 1)}^{\frac{1}{3}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int {({(u - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} \sqrt{u} d u$

단계 2.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int {(u - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} \sqrt{u} d u$

단계 2.1.3

$\frac{1}{3}$ 와 $3$ 을 묶습니다.

$\int {(u - 1)}^{\frac{3}{3}} \sqrt{u} d u$

단계 2.1.4

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\int {(u - 1)}^{\frac{3}{3}} \sqrt{u} d u$

단계 2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\int {(u - 1)}^{1} \sqrt{u} d u$

단계 2.1.5

간단히 합니다.

$\int (u - 1) \sqrt{u} d u$

단계 2.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int (u - 1) u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 3

$(u - 1) u^{\frac{1}{2}}$ 을 전개합니다.

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단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 3.2

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int u^{1} u^{\frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{1 + \frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 3.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\int u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int u^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 3.6

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int u^{\frac{3}{2}} - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int u^{\frac{3}{2}} d u + \int - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{3}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C + \int - 1 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 6

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - \int u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C - (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

단계 8

간단히 합니다.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

단계 9

$u$ 를 모두 $x^{3} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{2}{5} {(x^{3} + 1)}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{3} {(x^{3} + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$