미적분 예제

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) \sin (x) d x$

단계 1

먼저 $u = \cos (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - \sin (x) d x$ 이므로 $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = \cos (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\cos (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

단계 1.1.2

$\cos (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- \sin (x)$ 입니다.

$- \sin (x)$

단계 1.2

$u = \cos (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \cos (\frac{π}{4})$

단계 1.3

$\cos (\frac{π}{4})$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 입니다.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

단계 1.4

$u = \cos (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

단계 1.5

$\cos (\frac{π}{3})$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}} - u d u$

단계 2

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}} u d u$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$- (\frac{1}{2} u^{2}]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{\frac{1}{2}})$

단계 4

$\frac{1}{2}$ , $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 일 때, $\frac{1}{2} u^{2}$ 값을 계산합니다.

$- ((\frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

단계 5

지수를 더하여 $\frac{1}{2}$ 에 ${(\frac{1}{2})}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{2}$ 에 ${(\frac{1}{2})}^{2}$ 을 곱합니다.

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단계 5.1.1

$\frac{1}{2}$ 를 $1$ 승 합니다.

$- ({(\frac{1}{2})}^{1} {(\frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

단계 5.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- ({(\frac{1}{2})}^{1 + 2} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

단계 5.2

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- ({(\frac{1}{2})}^{3} - \frac{1}{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

단계 6

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$- ({(\frac{1}{2})}^{3} - \frac{1}{2} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})$

소수 형태:

$0.125$