미적분 예제

$\int \frac{x^{3} - 6 x - 4}{x + 2} d x$

단계 1

먼저 $u = x + 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = x + 2$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$x + 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.1.4

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$1 + 0$

단계 1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{{(u - 2)}^{3} - 6 (u - 2) - 4}{u} d u$

단계 2

분수를 여러 개의 분수로 나눕니다.

$\int \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} + \frac{- 6 (u - 2)}{u} + \frac{- 4}{u} d u$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int \frac{- 6 (u - 2)}{u} d u + \int \frac{- 4}{u} d u$

단계 4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int \frac{- 4}{u} d u$

단계 4.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int \frac{{(u - 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 5

이항정리 이용

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 2 + 3 u {(- 2)}^{2} + {(- 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 2 + 3 u (- 2 \cdot - 2) + {(- 2)}^{3}}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 6.2

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 2 + 3 u (- 2 \cdot - 2) - 2 {(- 2)}^{2}}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 6.3

거듭제곱을 곱의 형태로 바꿉니다.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 2 + 3 u (- 2 \cdot - 2) - 2 (- 2 \cdot - 2)}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 6.4

$u^{2}$ 를 옮깁니다.

$\int \frac{u^{3} + 3 \cdot - 2 u^{2} + 3 u (- 2 \cdot - 2) - 2 (- 2 \cdot - 2)}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 6.5

$u$ 를 옮깁니다.

$\int \frac{u^{3} + 3 \cdot - 2 u^{2} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 u - 2 (- 2 \cdot - 2)}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 6.6

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u^{3} - 6 u^{2} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 6.7

$3$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u^{3} - 6 u^{2} - 6 \cdot - 2 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 6.8

$- 6$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u^{3} - 6 u^{2} + 12 u - 2 \cdot - 2 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 6.9

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u^{3} - 6 u^{2} + 12 u + 4 \cdot - 2}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 6.10

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u^{3} - 6 u^{2} + 12 u - 8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 7

$u^{3} - 6 u^{2} + 12 u - 8$ 을 $u$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$u$

$0$

$u^{3}$

$6 u^{2}$

$12 u$

$8$

단계 7.2

피제수 $u^{3}$ 의 고차항을 제수 $u$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$u^{2}$
	$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$

단계 7.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			+	$u^{3}$	+	$0$

단계 7.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $u^{3} + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$

단계 7.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$

단계 7.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$

단계 7.7

피제수 $- 6 u^{2}$ 의 고차항을 제수 $u$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$

단계 7.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					-	$6 u^{2}$	+	$0$

단계 7.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $- 6 u^{2} + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$

단계 7.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$

단계 7.11

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$u^{2}$	-	$6 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$

단계 7.12

피제수 $12 u$ 의 고차항을 제수 $u$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$u^{2}$	-	$6 u$	+	$12$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$

단계 7.13

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$u^{2}$	-	$6 u$	+	$12$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$
							+	$12 u$	+	$0$

단계 7.14

식을 피제수에서 빼야 하므로 $12 u + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$u^{2}$	-	$6 u$	+	$12$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$
							-	$12 u$	-	$0$

단계 7.15

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$u^{2}$	-	$6 u$	+	$12$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$6 u^{2}$	+	$12 u$	-	$8$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$6 u^{2}$	+	$12 u$
					+	$6 u^{2}$	-	$0$
							+	$12 u$	-	$8$
							-	$12 u$	-	$0$
									-	$8$

단계 7.16

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int u^{2} - 6 u + 12 - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 8

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int u^{2} d u + \int - 6 u d u + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $u^{2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} u^{3}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int - 6 u d u + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 10

$- 6$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 \int u d u + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{1}{2} u^{2} + C) + \int 12 d u + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 12

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{1}{2} u^{2} + C) + 12 u + C + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 13

$\frac{1}{2}$ 와 $u^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C + \int - \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 14

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - \int \frac{8}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 15

$8$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $8$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - (8 \int \frac{1}{u} d u) + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 16

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 \int \frac{1}{u} d u + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 17

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) + \int - \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 18

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - \int \frac{6 (u - 2)}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 19

$6$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $6$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - (6 \int \frac{u - 2}{u} d u) + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 20

$6$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 \int \frac{u - 2}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 21

$u - 2$ 을 $u$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$u$

$0$

$u$

$2$

단계 21.2

피제수 $u$ 의 고차항을 제수 $u$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	-	$2$

단계 21.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$2$
			+	$u$	+	$0$

단계 21.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $u + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$2$
			-	$u$	-	$0$

단계 21.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$2$
			-	$u$	-	$0$
					-	$2$

단계 21.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 \int 1 - \frac{2}{u} d u + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 22

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (\int d u + \int - \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 23

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C + \int - \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 24

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - \int \frac{2}{u} d u) + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 25

$2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - (2 \int \frac{1}{u} d u)) + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 26

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 \int \frac{1}{u} d u) + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 27

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) + \int - \frac{4}{u} d u$

단계 28

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) - \int \frac{4}{u} d u$

단계 29

$4$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) - (4 \int \frac{1}{u} d u)$

단계 30

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) - 4 \int \frac{1}{u} d u$

단계 31

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 6 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 12 u + C - 8 (\ln (| u |) + C) - 6 (u + C - 2 (\ln (| u |) + C)) - 4 (\ln (| u |) + C)$

단계 32

간단히 합니다.

$\frac{u^{3}}{3} - 3 u^{2} + 12 u - 8 \ln (| u |) - 6 u + 12 \ln (| u |) - 4 \ln (| u |) + C$

단계 33

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 12 u - 8 \ln (| u |) - 6 u + 12 \ln (| u |) - 4 \ln (| u |) + C$

단계 34

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 34.1

$12 u$ 에서 $6 u$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 6 u - 8 \ln (| u |) + 12 \ln (| u |) - 4 \ln (| u |) + C$

단계 34.2

$- 8 \ln (| u |)$ 를 $12 \ln (| u |)$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 6 u + 4 \ln (| u |) - 4 \ln (| u |) + C$

단계 34.3

$4 \ln (| u |)$ 에서 $4 \ln (| u |)$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 6 u + 0 + C$

단계 34.4

$\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 6 u$ 를 $0$ 에 더합니다.

$\frac{1}{3} u^{3} - 3 u^{2} + 6 u + C$

단계 35

$u$ 를 모두 $x + 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3} {(x + 2)}^{3} - 3 {(x + 2)}^{2} + 6 (x + 2) + C$