미적분 예제

$\int \frac{x^{2} + 3 x + 7}{\sqrt{x}} d x$

단계 1

해당 적분은 치환적분으로 풀 수 없습니다. Mathway에서 다른 방법을 사용합니다.

단계 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{x}$ 을(를) $x^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{x^{2} + 3 x + 7}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

단계 3

$x^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int (x^{2} + 3 x + 7) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

단계 4

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int (x^{2} + 3 x + 7) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

단계 4.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int (x^{2} + 3 x + 7) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

단계 4.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int (x^{2} + 3 x + 7) x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 5

$(x^{2} + 3 x + 7) x^{- \frac{1}{2}}$ 을 전개합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (x^{2} + 3 x) x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int x^{2} x^{- \frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 5.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{2 - \frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 5.4

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\int x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 5.5

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\int x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 5.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 5.7

분자를 간단히 합니다.

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단계 5.7.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int x^{\frac{4 - 1}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 5.7.2

$4$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 5.8

$x$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 5.9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{1 - \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 5.10

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 5.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{\frac{2 - 1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 5.12

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\int x^{\frac{3}{2}} + 3 x^{\frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 5.13

$x^{\frac{3}{2}}$ 와 $3 x^{\frac{1}{2}}$ 을 다시 정렬합니다.

$\int 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} d x$

단계 5.14

$x^{\frac{3}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\int 3 x^{\frac{1}{2}} + 7 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

단계 5.15

$3 x^{\frac{1}{2}}$ 와 $7 x^{- \frac{1}{2}}$ 을 다시 정렬합니다.

$\int 7 x^{- \frac{1}{2}} + 3 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 7 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 3 x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

단계 7

$7$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $7$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$7 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int 3 x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x^{- \frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int 3 x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

단계 9

$3$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{1}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $x^{\frac{3}{2}}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

단계 12

간단히 합니다.

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단계 12.1

$\frac{2}{3}$ 와 $x^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$7 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

단계 12.2

간단히 합니다.

$14 x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$