미적분 예제

$\int x^{2} {(x + 1)}^{3} d x$

단계 1

먼저 $u = x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int {(u - 1)}^{2} u^{3} d u$

단계 2

${(u - 1)}^{2} u^{3}$ 을 전개합니다.

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단계 2.1

${(u - 1)}^{2}$ 을 $(u - 1) (u - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int (u - 1) (u - 1) u^{3} d u$

단계 2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (u (u - 1) - 1 (u - 1)) u^{3} d u$

단계 2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1)) u^{3} d u$

단계 2.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1) u^{3} d u$

단계 2.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u^{3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{3} d u$

단계 2.6

분배 법칙을 적용합니다.

$\int u \cdot u \cdot u^{3} + u \cdot - 1 u^{3} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{3} d u$

단계 2.7

분배 법칙을 적용합니다.

$\int u \cdot u \cdot u^{3} + u \cdot - 1 u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

단계 2.8

$u$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$\int u \cdot u \cdot u^{3} - 1 \cdot u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

단계 2.9

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int u^{1} u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

단계 2.10

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int u^{1} u^{1} u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

단계 2.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{1 + 1} u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

단계 2.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int u^{2} u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

단계 2.13

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{2 + 3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

단계 2.14

$2$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\int u^{5} - 1 u \cdot u^{3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

단계 2.15

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\int u^{5} - (u \cdot u^{3}) - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

단계 2.16

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int u^{5} - (u^{1} u^{3}) - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

단계 2.17

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{5} - u^{1 + 3} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

단계 2.18

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\int u^{5} - u^{4} - 1 u \cdot u^{3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

단계 2.19

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\int u^{5} - u^{4} - (u \cdot u^{3}) - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

단계 2.20

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int u^{5} - u^{4} - (u^{1} u^{3}) - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

단계 2.21

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{5} - u^{4} - u^{1 + 3} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

단계 2.22

$1$ 를 $3$ 에 더합니다.

$\int u^{5} - u^{4} - u^{4} - 1 \cdot - 1 u^{3} d u$

단계 2.23

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int u^{5} - u^{4} - u^{4} + 1 u^{3} d u$

단계 2.24

$u^{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int u^{5} - u^{4} - u^{4} + u^{3} d u$

단계 2.25

$- u^{4}$ 에서 $u^{4}$ 을 뺍니다.

$\int u^{5} - 2 u^{4} + u^{3} d u$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int u^{5} d u + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{3} d u$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $u^{5}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{6} u^{6}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{6} u^{6} + C + \int - 2 u^{4} d u + \int u^{3} d u$

단계 5

$- 2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 \int u^{4} d u + \int u^{3} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{4}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} u^{5}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \int u^{3} d u$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{3}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{4} u^{4}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{1}{5} u^{5} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

$\frac{1}{5}$ 와 $u^{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{6} u^{6} + C - 2 (\frac{u^{5}}{5} + C) + \frac{1}{4} u^{4} + C$

단계 8.2

간단히 합니다.

$\frac{u^{6}}{6} - \frac{2 u^{5}}{5} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

단계 9

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{6} u^{6} - \frac{2}{5} u^{5} + \frac{1}{4} u^{4} + C$

단계 10

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{6} {(x + 1)}^{6} - \frac{2}{5} {(x + 1)}^{5} + \frac{1}{4} {(x + 1)}^{4} + C$