미적분 예제

$\int \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}} d x$

단계 1

해당 적분은 치환적분으로 풀 수 없습니다. Mathway에서 다른 방법을 사용합니다.

단계 2

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = 3 \sin (t)$ 라고 하면 $d x = 3 \cos (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $3 \cos (t)$ 는 양수입니다.

$\int \frac{\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

단계 3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1

$3 \sin (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{\sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

단계 3.1.1.2

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int \frac{\sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

단계 3.1.1.3

$9$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{\sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

단계 3.1.2

$9$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{\sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

단계 3.1.3

$- 9 \sin^{2} (t)$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{\sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

단계 3.1.4

$9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ 에서 $9$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{\sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

단계 3.1.5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \frac{\sqrt{9 \cos^{2} (t)}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

단계 3.1.6

$9 \cos^{2} (t)$ 을 ${(3 \cos (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{\sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}}}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

단계 3.1.7

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int \frac{3 \cos (t)}{{(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

단계 3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$3 \sin (t)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{3 \cos (t)}{{(3 (\sin (t)))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

단계 3.2.2

$3 (\sin (t))$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{3 \cos (t)}{3^{2} \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

단계 3.2.3

$3$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int \frac{3 \cos (t)}{9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

단계 3.2.4

$3$ 및 $9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.1

$3 \cos (t)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{3 (\cos (t))}{9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

단계 3.2.4.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.4.2.1

$9 \sin^{2} (t)$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{3 (\cos (t))}{3 (3 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

단계 3.2.4.2.2

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{3 \cos (t)}{3 (3 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

단계 3.2.4.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{\cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

단계 3.2.5

$3$ 와 $\frac{\cos (t)}{3 \sin^{2} (t)}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{3 \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

단계 3.2.6

$\frac{3 \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)}$ 와 $\cos (t)$ 을 묶습니다.

$\int \frac{3 \cos (t) \cos (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

단계 3.2.7

$\cos (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{3 (\cos^{1} (t) \cos (t))}{3 \sin^{2} (t)} d t$

단계 3.2.8

$\cos (t)$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{3 (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t))}{3 \sin^{2} (t)} d t$

단계 3.2.9

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \frac{3 {\cos (t)}^{1 + 1}}{3 \sin^{2} (t)} d t$

단계 3.2.10

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int \frac{3 \cos^{2} (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

단계 3.2.11

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.11.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{3 \cos^{2} (t)}{3 \sin^{2} (t)} d t$

단계 3.2.11.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)} d t$

단계 3.2.12

$\frac{\cos^{2} (t)}{\sin^{2} (t)}$ 을 $\cot^{2} (t)$ 로 변환합니다.

$\int \cot^{2} (t) d t$

단계 4

피타고라스 항등식을 이용하여 $\cot^{2} (t)$ 를 $- 1 + \csc^{2} (t)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int - 1 + \csc^{2} (t) d t$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int - 1 d t + \int \csc^{2} (t) d t$

단계 6

상수 규칙을 적용합니다.

$- t + C + \int \csc^{2} (t) d t$

단계 7

$- \cot (t)$ 의 도함수는 $\csc^{2} (t)$ 이므로, $\csc^{2} (t)$ 의 적분값은 $- \cot (t)$ 이 됩니다.

$- t + C - \cot (t) + C$

단계 8

간단히 합니다.

$- t - \cot (t) + C$

단계 9

$t$ 를 모두 $\arcsin (\frac{x}{3})$ 로 바꿉니다.

$- \arcsin (\frac{x}{3}) - \cot (\arcsin (\frac{x}{3})) + C$

단계 10

항을 다시 정렬합니다.

$- \arcsin (\frac{1}{3} x) - \cot (\arcsin (\frac{1}{3} x)) + C$