미적분 예제

$\int_{2}^{7} x \sqrt{x + 2} d x$

단계 1

먼저 $u = x + 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = x + 2$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$x + 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

단계 1.1.4

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$1 + 0$

단계 1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 1.2

$u = x + 2$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 2 + 2$

단계 1.3

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 4$

단계 1.4

$u = x + 2$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 7 + 2$

단계 1.5

$7$ 를 $2$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 9$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = 9$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{4}^{9} (u - 2) \sqrt{u} d u$

단계 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int_{4}^{9} (u - 2) u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 3

$(u - 2) u^{\frac{1}{2}}$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\int_{4}^{9} u \cdot u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 3.2

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int_{4}^{9} u^{1} u^{\frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 3.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int_{4}^{9} u^{1 + \frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 3.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\int_{4}^{9} u^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 3.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int_{4}^{9} u^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 3.6

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int_{4}^{9} u^{\frac{3}{2}} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int_{4}^{9} u^{\frac{3}{2}} d u + \int_{4}^{9} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{3}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{4}^{9} + \int_{4}^{9} - 2 u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 6

$- 2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{4}^{9} - 2 \int_{4}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}]_{4}^{9} - 2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9})$

단계 8

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$9$ , $4$ 일 때, $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 값을 계산합니다.

$(\frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}}) - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{4}^{9})$

단계 8.2

$9$ , $4$ 일 때, $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 값을 계산합니다.

$\frac{2}{5} \cdot 9^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{2}{5} \cdot {(3^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{2}{5} \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.3.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2}{5} \cdot 3^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{2}{5} \cdot 3^{5} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.3.4

$3$ 를 $5$ 승 합니다.

$\frac{2}{5} \cdot 243 - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.4.1

$\frac{2}{5}$ 와 $243$ 을 묶습니다.

$\frac{2 \cdot 243}{5} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.4.2

$2$ 에 $243$ 을 곱합니다.

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.5.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.5.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.5.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.5.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 2^{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.5.4

$2$ 를 $5$ 승 합니다.

$\frac{486}{5} - \frac{2}{5} \cdot 32 - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.6.1

$32$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{486}{5} - 32 (\frac{2}{5}) - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.6.2

$- 32$ 와 $\frac{2}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{486}{5} + \frac{- 32 \cdot 2}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.6.3

$- 32$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{486}{5} + \frac{- 64}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.6.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{486}{5} - \frac{64}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.7

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.7.1

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{486 - 64}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.7.2

$486$ 에서 $64$ 을 뺍니다.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.8

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.8.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.8.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.8.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.8.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.8.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.8.4

$3$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.9

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.9.1

$\frac{2}{3}$ 와 $27$ 을 묶습니다.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.9.2

$2$ 에 $27$ 을 곱합니다.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.9.3

$54$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.9.3.1

$54$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.9.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.9.3.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.9.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.9.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.9.3.2.4

$18$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}})$

단계 8.10

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.10.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}})$

단계 8.10.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

단계 8.10.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.10.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})})$

단계 8.10.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 2^{3})$

단계 8.10.4

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{2}{3} \cdot 8)$

단계 8.11

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.11.1

$8$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - 8 (\frac{2}{3}))$

단계 8.11.2

$- 8$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{422}{5} - 2 (18 + \frac{- 8 \cdot 2}{3})$

단계 8.11.3

$- 8$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{422}{5} - 2 (18 + \frac{- 16}{3})$

단계 8.11.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{422}{5} - 2 (18 - \frac{16}{3})$

단계 8.12

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.12.1

공통 분모를 가지는 분수로 $18$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{422}{5} - 2 (18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3})$

단계 8.12.2

$18$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3})$

단계 8.12.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{422}{5} - 2 \frac{18 \cdot 3 - 16}{3}$

단계 8.12.4

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.12.4.1

$18$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{422}{5} - 2 \frac{54 - 16}{3}$

단계 8.12.4.2

$54$ 에서 $16$ 을 뺍니다.

$\frac{422}{5} - 2 (\frac{38}{3})$

단계 8.13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.13.1

$- 2$ 와 $\frac{38}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{422}{5} + \frac{- 2 \cdot 38}{3}$

단계 8.13.2

$- 2$ 에 $38$ 을 곱합니다.

$\frac{422}{5} + \frac{- 76}{3}$

단계 8.13.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{422}{5} - \frac{76}{3}$

단계 8.14

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.14.1

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{422}{5}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{422}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{76}{3}$

단계 8.14.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{76}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{422}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{76}{3} \cdot \frac{5}{5}$

단계 8.14.3

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $15$ 이 되도록 식을 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.14.3.1

$\frac{422}{5}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{422 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{76}{3} \cdot \frac{5}{5}$

단계 8.14.3.2

$5$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{422 \cdot 3}{15} - \frac{76}{3} \cdot \frac{5}{5}$

단계 8.14.3.3

$\frac{76}{3}$ 에 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$\frac{422 \cdot 3}{15} - \frac{76 \cdot 5}{3 \cdot 5}$

단계 8.14.3.4

$3$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{422 \cdot 3}{15} - \frac{76 \cdot 5}{15}$

단계 8.14.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{422 \cdot 3 - 76 \cdot 5}{15}$

단계 8.14.5

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.14.5.1

$422$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\frac{1266 - 76 \cdot 5}{15}$

단계 8.14.5.2

$- 76$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\frac{1266 - 380}{15}$

단계 8.14.5.3

$1266$ 에서 $380$ 을 뺍니다.

$\frac{886}{15}$

단계 9

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{886}{15}$

소수 형태:

$59.0\overline{6}$

대분수 형식:

$59 \frac{1}{15}$