미적분 예제

$\int (x^{2} + 2) {(x + 1)}^{42} d x$

단계 1

먼저 $u = x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int ({(u - 1)}^{2} + 2) u^{42} d u$

단계 2

$({(u - 1)}^{2} + 2) u^{42}$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

${(u - 1)}^{2}$ 을 $(u - 1) (u - 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int ((u - 1) (u - 1) + 2) u^{42} d u$

단계 2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (u (u - 1) - 1 (u - 1) + 2) u^{42} d u$

단계 2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 (u - 1) + 2) u^{42} d u$

단계 2.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1 + 2) u^{42} d u$

단계 2.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1 - 1 u - 1 \cdot - 1) u^{42} + 2 u^{42} d u$

단계 2.6

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (u \cdot u + u \cdot - 1) u^{42} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{42} + 2 u^{42} d u$

단계 2.7

분배 법칙을 적용합니다.

$\int u \cdot u \cdot u^{42} + u \cdot - 1 u^{42} + (- 1 u - 1 \cdot - 1) u^{42} + 2 u^{42} d u$

단계 2.8

분배 법칙을 적용합니다.

$\int u \cdot u \cdot u^{42} + u \cdot - 1 u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

단계 2.9

$u$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$\int u \cdot u \cdot u^{42} - 1 \cdot u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

단계 2.10

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int u^{1} u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

단계 2.11

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int u^{1} u^{1} u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

단계 2.12

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{1 + 1} u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

단계 2.13

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int u^{2} u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

단계 2.14

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{2 + 42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

단계 2.15

$2$ 를 $42$ 에 더합니다.

$\int u^{44} - 1 u \cdot u^{42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

단계 2.16

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\int u^{44} - (u \cdot u^{42}) - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

단계 2.17

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int u^{44} - (u^{1} u^{42}) - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

단계 2.18

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{44} - u^{1 + 42} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

단계 2.19

$1$ 를 $42$ 에 더합니다.

$\int u^{44} - u^{43} - 1 u \cdot u^{42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

단계 2.20

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\int u^{44} - u^{43} - (u \cdot u^{42}) - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

단계 2.21

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int u^{44} - u^{43} - (u^{1} u^{42}) - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

단계 2.22

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int u^{44} - u^{43} - u^{1 + 42} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

단계 2.23

$1$ 를 $42$ 에 더합니다.

$\int u^{44} - u^{43} - u^{43} - 1 \cdot - 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

단계 2.24

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int u^{44} - u^{43} - u^{43} + 1 u^{42} + 2 u^{42} d u$

단계 2.25

$u^{42}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int u^{44} - u^{43} - u^{43} + u^{42} + 2 u^{42} d u$

단계 2.26

$- u^{43}$ 에서 $u^{43}$ 을 뺍니다.

$\int u^{44} - 2 u^{43} + u^{42} + 2 u^{42} d u$

단계 2.27

$u^{42}$ 를 $2 u^{42}$ 에 더합니다.

$\int u^{44} - 2 u^{43} + 3 u^{42} d u$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int u^{44} d u + \int - 2 u^{43} d u + \int 3 u^{42} d u$

단계 4

멱의 법칙에 의해 $u^{44}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{45} u^{45}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{45} u^{45} + C + \int - 2 u^{43} d u + \int 3 u^{42} d u$

단계 5

$- 2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{45} u^{45} + C - 2 \int u^{43} d u + \int 3 u^{42} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{43}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{44} u^{44}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{45} u^{45} + C - 2 (\frac{1}{44} u^{44} + C) + \int 3 u^{42} d u$

단계 7

$3$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $3$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{45} u^{45} + C - 2 (\frac{1}{44} u^{44} + C) + 3 \int u^{42} d u$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u^{42}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{43} u^{43}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{45} u^{45} + C - 2 (\frac{1}{44} u^{44} + C) + 3 (\frac{1}{43} u^{43} + C)$

단계 9

간단히 합니다.

$\frac{u^{45}}{45} - \frac{u^{44}}{22} + 3 (\frac{1}{43} u^{43}) + C$

단계 10

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{45} u^{45} - \frac{1}{22} u^{44} + 3 (\frac{1}{43}) u^{43} + C$

단계 11

$3$ 와 $\frac{1}{43}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{45} u^{45} - \frac{1}{22} u^{44} + \frac{3}{43} u^{43} + C$

단계 12

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{45} {(x + 1)}^{45} - \frac{1}{22} {(x + 1)}^{44} + \frac{3}{43} {(x + 1)}^{43} + C$