미적분 예제

$\int \frac{16}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

단계 1

완전제곱 법칙을 이용하여 인수분해합니다.

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단계 1.1

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{16}{x^{2} + 2 x + 1^{2}} d x$

단계 1.2

중간 항이 첫 번째 항 및 세 번째 항에서 제곱되는 수를 곱한 값의 두 배인지 확인합니다.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

단계 1.3

다항식을 다시 씁니다.

$\int \frac{16}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}} d x$

단계 1.4

$a = x$ 이고 $b = 1$ 일 때 완전제곱 삼항식 법칙 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 을 이용하여 인수분해합니다.

$\int \frac{16}{{(x + 1)}^{2}} d x$

단계 2

먼저 $u = x + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 2.1

$u = x + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 2.1.1

$x + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

단계 2.1.2

합의 법칙에 의해 $x + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

단계 2.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 2.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 2.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{16}{u^{2}} d u$

단계 3

$16$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $16$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$16 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

단계 4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1

$u^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$16 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

단계 4.2

${(u^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$16 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

단계 4.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$16 \int u^{- 2} d u$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $u^{- 2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- u^{- 1}$ 가 됩니다.

$16 (- u^{- 1} + C)$

단계 6

간단히 합니다.

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단계 6.1

$16 (- u^{- 1} + C)$ 을 $16 (- \frac{1}{u}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$16 (- \frac{1}{u}) + C$

단계 6.2

간단히 합니다.

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단계 6.2.1

$- 1$ 에 $16$ 을 곱합니다.

$- 16 \frac{1}{u} + C$

단계 6.2.2

$- 16$ 와 $\frac{1}{u}$ 을 묶습니다.

$\frac{- 16}{u} + C$

단계 6.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{16}{u} + C$

단계 7

$u$ 를 모두 $x + 1$ 로 바꿉니다.

$- \frac{16}{x + 1} + C$