미적분 예제

$\int \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

단계 1

먼저 $u = x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = x - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$x - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.4

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$1 + 0$

단계 1.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{{(u + 1)}^{2}}{u} d u$

단계 2

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

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단계 2.1

${(u + 1)}^{2}$ 을 $(u + 1) (u + 1)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{(u + 1) (u + 1)}{u} d u$

단계 2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{u (u + 1) + 1 (u + 1)}{u} d u$

단계 2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot 1 + 1 (u + 1)}{u} d u$

단계 2.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{u \cdot u + u \cdot 1 + 1 u + 1 \cdot 1}{u} d u$

단계 2.5

$u$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$\int \frac{u \cdot u + 1 \cdot u + 1 u + 1 \cdot 1}{u} d u$

단계 3

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{u^{1} u + 1 u + 1 u + 1 \cdot 1}{u} d u$

단계 4

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int \frac{u^{1} u^{1} + 1 u + 1 u + 1 \cdot 1}{u} d u$

단계 5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int \frac{u^{1 + 1} + 1 u + 1 u + 1 \cdot 1}{u} d u$

단계 6

식을 간단히 합니다.

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단계 6.1

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int \frac{u^{2} + 1 u + 1 u + 1 \cdot 1}{u} d u$

단계 6.2

$u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u^{2} + u + 1 u + 1 \cdot 1}{u} d u$

단계 6.3

$u$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u^{2} + u + u + 1 \cdot 1}{u} d u$

단계 6.4

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u^{2} + u + u + 1}{u} d u$

단계 7

$u$ 를 $u$ 에 더합니다.

$\int \frac{u^{2} + 2 u + 1}{u} d u$

단계 8

$u^{2} + 2 u + 1$ 을 $u$ 로 나눕니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$u$

$0$

$u^{2}$

$2 u$

$1$

단계 8.2

피제수 $u^{2}$ 의 고차항을 제수 $u$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$u$
	$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$

단계 8.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			+	$u^{2}$	+	$0$

단계 8.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $u^{2} + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$

단계 8.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$2 u$

단계 8.6

원래 피제수의 다음 항을 아래로 내려 현재 피제수로 보냅니다.

				$u$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$2 u$	+	$1$

단계 8.7

피제수 $2 u$ 의 고차항을 제수 $u$ 의 고차항으로 나눕니다.

				$u$	+	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$2 u$	+	$1$

단계 8.8

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$u$	+	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$2 u$	+	$1$
					+	$2 u$	+	$0$

단계 8.9

식을 피제수에서 빼야 하므로 $2 u + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$u$	+	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$2 u$	+	$1$
					-	$2 u$	-	$0$

단계 8.10

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$u$	+	$2$
$u$	+	$0$		$u^{2}$	+	$2 u$	+	$1$
			-	$u^{2}$	-	$0$
					+	$2 u$	+	$1$
					-	$2 u$	-	$0$
							+	$1$

단계 8.11

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\int u + 2 + \frac{1}{u} d u$

단계 9

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int u d u + \int 2 d u + \int \frac{1}{u} d u$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} u^{2} + C + \int 2 d u + \int \frac{1}{u} d u$

단계 11

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} u^{2} + C + 2 u + C + \int \frac{1}{u} d u$

단계 12

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} u^{2} + C + 2 u + C + \ln (| u |) + C$

단계 13

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} u^{2} + 2 u + \ln (| u |) + C$

단계 14

$u$ 를 모두 $x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} + 2 (x - 1) + \ln (| x - 1 |) + C$