미적분 예제

$\int \frac{x + 3}{{(3 x - 4)}^{\frac{3}{2}}} d x$

단계 1

먼저 $u = 3 x - 4$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 3 x - 4$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$3 x - 4$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x - 4]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $3 x - 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.1.3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 + \frac{d}{d x} [- 4]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.4.1

$- 4$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 4$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 4$ 입니다.

$3 + 0$

단계 1.1.4.2

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4}{3} + 3}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $3$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

단계 2.2

$3$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

단계 2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4 + 3 \cdot 3}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

단계 2.4

분자를 간단히 합니다.

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단계 2.4.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{4 + 9}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

단계 2.4.2

$4$ 를 $9$ 에 더합니다.

$\int \frac{\frac{u}{3} + \frac{13}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

단계 2.5

$\frac{\frac{u}{3} + \frac{13}{3}}{u^{\frac{3}{2}}}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{u}{3} + \frac{13}{3}}{u^{\frac{3}{2}}} \frac{1}{3} d u$

단계 2.6

조합합니다.

$\int \frac{3 (\frac{u}{3} + \frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

단계 2.7

분배 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{3 \frac{u}{3} + 3 (\frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

단계 2.8

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.8.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{3 \frac{u}{3} + 3 (\frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

단계 2.8.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{u + 3 (\frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

단계 2.9

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.9.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{u + 3 (\frac{13}{3})}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

단계 2.9.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{u + 13}{3 u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

단계 2.10

$\frac{u + 13}{3 u^{\frac{3}{2}}}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u + 13}{3 u^{\frac{3}{2}} \cdot 3} d u$

단계 2.11

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u + 13}{9 u^{\frac{3}{2}}} d u$

단계 3

$\frac{1}{9}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{9}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{9} \int \frac{u + 13}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

단계 4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1

$u^{\frac{3}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{9} \int (u + 13) {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

단계 4.2

${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{9} \int (u + 13) u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

단계 4.2.2

$\frac{3}{2} \cdot - 1$ 을 곱합니다.

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단계 4.2.2.1

$\frac{3}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{9} \int (u + 13) u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

단계 4.2.2.2

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} \int (u + 13) u^{\frac{- 3}{2}} d u$

단계 4.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{9} \int (u + 13) u^{- \frac{3}{2}} d u$

단계 5

$(u + 13) u^{- \frac{3}{2}}$ 을 전개합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{9} \int u \cdot u^{- \frac{3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

단계 5.2

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{9} \int u^{1} u^{- \frac{3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

단계 5.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{9} \int u^{1 - \frac{3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

단계 5.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{9} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

단계 5.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{9} \int u^{\frac{2 - 3}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

단계 5.6

$2$ 에서 $3$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{9} \int u^{\frac{- 1}{2}} + 13 u^{- \frac{3}{2}} d u$

단계 5.7

$u^{\frac{- 1}{2}}$ 와 $13 u^{- \frac{3}{2}}$ 을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{9} \int 13 u^{- \frac{3}{2}} + u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 6

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{9} \int 13 u^{- \frac{3}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{9} (\int 13 u^{- \frac{3}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

단계 8

$13$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $13$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{9} (13 \int u^{- \frac{3}{2}} d u + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{3}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{9} (13 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C) + \int u^{- \frac{1}{2}} d u)$

단계 10

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{9} (13 (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C) + 2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

단계 11

간단히 합니다.

$\frac{1}{9} (- \frac{26}{u^{\frac{1}{2}}} + 2 u^{\frac{1}{2}}) + C$

단계 12

$u$ 를 모두 $3 x - 4$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{9} (- \frac{26}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}) + C$

단계 13

간단히 합니다.

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단계 13.1

공통 분모를 가지는 분수로 $2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} (- \frac{26}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}) + C$

단계 13.2

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 13.3

분자를 간단히 합니다.

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단계 13.3.1

지수를 더하여 ${(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 에 ${(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

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단계 13.3.1.1

${(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 ({(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}} {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}})}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 13.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 13.3.1.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 13.3.1.4

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{\frac{2}{2}}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 13.3.1.5

$2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 {(3 x - 4)}^{1}}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 13.3.2

$2 {(3 x - 4)}^{1}$ 을 간단히 합니다.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 (3 x - 4)}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 13.3.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 2 (3 x) + 2 \cdot - 4}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 13.3.4

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 6 x + 2 \cdot - 4}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 13.3.5

$2$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{- 26 + 6 x - 8}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 13.3.6

$- 26$ 에서 $8$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{6 x - 34}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 13.3.7

$6 x - 34$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

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단계 13.3.7.1

$6 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{2 (3 x) - 34}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 13.3.7.2

$- 34$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{2 (3 x) + 2 (- 17)}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 13.3.7.3

$2 (3 x) + 2 (- 17)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{2 (3 x - 17)}{{(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 13.4

조합합니다.

$\frac{1 (2 (3 x - 17))}{9 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$

단계 13.5

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{2 (3 x - 17)}{9 {(3 x - 4)}^{\frac{1}{2}}} + C$