미적분 예제

$\int (7 x + e^{4 x}) d x$

단계 1

먼저 $u = 4 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 4 d x$ 이므로 $\frac{1}{4} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 4 x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$4 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [4 x]$

단계 1.1.2

$4$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $4 x$ 의 미분은 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$4 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$4 \cdot 1$

단계 1.1.4

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int (7 \frac{u}{4} + e^{u}) \frac{1}{4} d u$

단계 2

$7$ 와 $\frac{u}{4}$ 을 묶습니다.

$\int (\frac{7 u}{4} + e^{u}) \frac{1}{4} d u$

단계 3

$\frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \int \frac{7 u}{4} + e^{u} d u$

단계 4

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{4} (\int \frac{7 u}{4} d u + \int e^{u} d u)$

단계 5

$\frac{7}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{7}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} \int u d u + \int e^{u} d u)$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} u^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C) + \int e^{u} d u)$

단계 7

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C) + e^{u} + C)$

단계 8

간단히 합니다.

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단계 8.1

간단히 합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{7 u^{2}}{8} + e^{u}) + C$

단계 8.2

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} u^{2} + e^{u}) + C$

단계 9

$u$ 를 모두 $4 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} {(4 x)}^{2} + e^{4 x}) + C$

단계 10

간단히 합니다.

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단계 10.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 10.1.1

$4 x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (4^{2} x^{2}) + e^{4 x}) + C$

단계 10.1.2

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (16 x^{2}) + e^{4 x}) + C$

단계 10.1.3

$8$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.1.3.1

$16 x^{2}$ 에서 $8$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (8 (2 x^{2})) + e^{4 x}) + C$

단계 10.1.3.2

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{4} (\frac{7}{8} (8 (2 x^{2})) + e^{4 x}) + C$

단계 10.1.3.3

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{4} (7 (2 x^{2}) + e^{4 x}) + C$

단계 10.1.4

$2$ 에 $7$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{4} (14 x^{2} + e^{4 x}) + C$

단계 10.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{4} (14 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

단계 10.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.3.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 (2)} (14 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

단계 10.3.2

$14 x^{2}$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\frac{1}{2 (2)} (2 (7 x^{2})) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

단계 10.3.3

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (7 x^{2})) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

단계 10.3.4

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} (7 x^{2}) + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

단계 10.4

$7$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{7}{2} x^{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

단계 10.5

$\frac{7}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$

단계 10.6

$\frac{1}{4}$ 와 $e^{4 x}$ 을 묶습니다.

$\frac{7 x^{2}}{2} + \frac{e^{4 x}}{4} + C$

단계 11

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{7}{2} x^{2} + \frac{1}{4} e^{4 x} + C$