미적분 예제

$\int \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - 2 x^{2}}} d x$

단계 1

먼저 $u = 1 - 2 x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 4 x d x$ 이므로 $- \frac{1}{4} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u = 1 - 2 x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$1 - 2 x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x^{2}]$

단계 1.1.2

미분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 - 2 x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

단계 1.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.3.1

$- 2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- 2 x^{2}$ 의 미분은 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - 2 (2 x)$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$0 - 4 x$

단계 1.1.4

$0$ 에서 $4 x$ 을 뺍니다.

$- 4 x$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{{(\frac{\sqrt{2 (- u + 1)}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 4} d u$

단계 2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int \frac{{(\frac{\sqrt{2 (- u + 1)}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{4}) d u$

단계 3

$- \frac{1}{4}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- \frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{\sqrt{2 (- u + 1)}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

단계 4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{2 (- u + 1)}$ 을(를) ${(2 (- u + 1))}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(2 (- u + 1))}^{\frac{1}{2}}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

단계 4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

$2 (- u + 1)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{2^{\frac{1}{2}} {(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

단계 4.2.2

음의 지수 법칙 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 을 활용하여 $2^{\frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

단계 4.2.3

지수를 더하여 $2$ 에 $2^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

$2$ 에 $2^{- \frac{1}{2}}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1.1

$2$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

단계 4.2.3.1.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{1 - \frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

단계 4.2.3.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

단계 4.2.3.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{2 - 1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

단계 4.2.3.4

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2}}{\sqrt{u}} d u$

단계 4.3

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2}}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 4.3.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{4} \int {(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 4.3.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.3.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{4} \int {(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 4.3.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{4} \int {(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 4.3.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{4} \int {(\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}})}^{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 4.3.4

$\frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 4.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1

${({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 4.4.1.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.1.2.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 4.4.1.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{{(- u + 1)}^{1}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 4.4.2

간단히 합니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 4.4.3

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 4.4.3.2

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.4.3.2.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 4.4.3.2.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2^{1}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 4.4.4

지수값을 계산합니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2} u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 4.4.5

$\frac{- u + 1}{2}$ 와 $u^{- \frac{1}{2}}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{(- u + 1) u^{- \frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 4.4.6

음의 지수 법칙 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 을 활용하여 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 분모로 이동합니다.

$- \frac{1}{4} \int \frac{- u + 1}{2 u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 5

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{- u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

단계 6

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{2 \cdot 4} \int \frac{- u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 6.1.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{8} \int \frac{- u + 1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 6.2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.1

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{8} \int (- u + 1) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 6.2.2

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.2.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{8} \int (- u + 1) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 6.2.2.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{8} \int (- u + 1) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 6.2.2.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{8} \int (- u + 1) u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 7

$(- u + 1) u^{- \frac{1}{2}}$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \frac{1}{8} \int - u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 7.2

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$- \frac{1}{8} \int - (u \cdot u^{- \frac{1}{2}}) + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 7.3

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \frac{1}{8} \int - (u^{1} u^{- \frac{1}{2}}) + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 7.4

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \frac{1}{8} \int - u^{1 - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 7.5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- \frac{1}{8} \int - u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 7.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{8} \int - u^{\frac{2 - 1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 7.7

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$- \frac{1}{8} \int - u^{\frac{1}{2}} + 1 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 7.8

$u^{- \frac{1}{2}}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{8} \int - u^{\frac{1}{2}} + u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 7.9

$- u^{\frac{1}{2}}$ 와 $u^{- \frac{1}{2}}$ 을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{8} \int u^{- \frac{1}{2}} - u^{\frac{1}{2}} d u$

단계 8

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$- \frac{1}{8} (\int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C + \int - u^{\frac{1}{2}} d u)$

단계 10

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

단계 11

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C - (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C))$

단계 12

간단히 합니다.

$- \frac{1}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}) + C$

단계 13

$u$ 를 모두 $1 - 2 x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- \frac{1}{8} (2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$

단계 14

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.1.1

${(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{8} (2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{{(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) + C$

단계 14.1.2

${(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$- \frac{1}{8} (2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

단계 14.2

공통 분모를 가지는 분수로 $2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{8} (2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

단계 14.3

$2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$- \frac{1}{8} (\frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} - \frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

단계 14.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

단계 14.5

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

단계 14.6

$- \frac{1}{8} \cdot \frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 14.6.1

$\frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}$ 에 $\frac{1}{8}$ 을 곱합니다.

$- \frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3 \cdot 8} + C$

단계 14.6.2

$3$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$- \frac{6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{24} + C$

단계 15

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{24} (6 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 {(1 - 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}}) + C$