미적분 예제

$\int \frac{x^{3}}{x^{2} + 1} d x$

단계 1

먼저 $u = x^{2} + 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 x d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = x^{2} + 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$x^{2} + 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $x^{2} + 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.3

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

단계 1.1.4

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$2 x + 0$

단계 1.1.5

$2 x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$2 x$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{{\sqrt{u - 1}}^{2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

${\sqrt{u - 1}}^{2}$ 을 $u - 1$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u - 1}$ 을(를) ${(u - 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int \frac{{({(u - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{{(u - 1)}^{\frac{2}{2}}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{{(u - 1)}^{1}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.1.5

간단히 합니다.

$\int \frac{u - 1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.2

$\frac{u - 1}{u}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{u - 1}{u \cdot 2} d u$

단계 2.3

$u$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int \frac{u - 1}{2 u} d u$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int \frac{u - 1}{u} d u$

단계 4

$u - 1$ 을 $u$ 로 나눕니다.

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단계 4.1

다항식을 나눗셈 형태로 적습니다. 각 지수에 대하여 항이 없는 경우 값이 $0$ 인 항을 삽입합니다.

$u$

$0$

$u$

$1$

단계 4.2

피제수 $u$ 의 고차항을 제수 $u$ 의 고차항으로 나눕니다.

					$1$
	$u$	+	$0$		$u$	-	$1$

단계 4.3

새로운 몫 값에 제수를 곱합니다.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			+	$u$	+	$0$

단계 4.4

식을 피제수에서 빼야 하므로 $u + 0$ 의 모든 부호를 바꿉니다.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$

단계 4.5

부호를 바꾼 뒤, 곱한 다항식의 마지막 피제수를 더해 새로운 피제수를 구합니다.

				$1$
$u$	+	$0$		$u$	-	$1$
			-	$u$	-	$0$
					-	$1$

단계 4.6

최종 답은 몫에 제수 분의 나머지를 더한 값입니다.

$\frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{u} d u$

단계 5

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (\int d u + \int - \frac{1}{u} d u)$

단계 6

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} (u + C + \int - \frac{1}{u} d u)$

단계 7

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (u + C - \int \frac{1}{u} d u)$

단계 8

$\frac{1}{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\ln (| u |)$ 입니다.

$\frac{1}{2} (u + C - (\ln (| u |) + C))$

단계 9

간단히 합니다.

$\frac{1}{2} (u - \ln (| u |)) + C$

단계 10

$u$ 를 모두 $x^{2} + 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{2} (x^{2} + 1 - \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

단계 11.2

간단히 합니다.

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단계 11.2.1

$\frac{1}{2}$ 와 $x^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

단계 11.2.2

$\frac{1}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (- \ln (| x^{2} + 1 |)) + C$

단계 11.2.3

$\frac{1}{2}$ 와 $\ln (| x^{2} + 1 |)$ 을 묶습니다.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

단계 11.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + \frac{1}{2} + C$

단계 12

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{2} (x^{2} - \ln (| x^{2} + 1 |)) + \frac{1}{2} + C$