미적분 예제

$\int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{\sqrt{16 + r^{2}}} d r$

단계 1

먼저 $u = 16 + r^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 2 r d r$ 이므로 $\frac{1}{2} d u = r d r$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 16 + r^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d r}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$16 + r^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d r} [16 + r^{2}]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $16 + r^{2}$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d r} [16] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d r} [16] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

단계 1.1.3

$16$ 이 $r$ 에 대해 일정하므로, $16$ 를 $r$ 에 대해 미분하면 $16$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

단계 1.1.4

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ 는 $n r^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 2 r$

단계 1.1.5

$0$ 를 $2 r$ 에 더합니다.

$2 r$

단계 1.2

$u = 16 + r^{2}$ 의 $r$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = 16 + 0^{2}$

단계 1.3

간단히 합니다.

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단계 1.3.1

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$u_{lower} = 16 + 0$

단계 1.3.2

$16$ 를 $0$ 에 더합니다.

$u_{lower} = 16$

단계 1.4

$u = 16 + r^{2}$ 의 $r$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = 16 + 1^{2}$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$u_{upper} = 16 + 1$

단계 1.5.2

$16$ 를 $1$ 에 더합니다.

$u_{upper} = 17$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 16$

$u_{upper} = 17$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{16}^{17} \frac{{\sqrt{u - 16}}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

${\sqrt{u - 16}}^{2}$ 을 $u - 16$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u - 16}$ 을(를) ${(u - 16)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int_{16}^{17} \frac{{({(u - 16)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int_{16}^{17} \frac{{(u - 16)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\int_{16}^{17} \frac{{(u - 16)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\int_{16}^{17} \frac{{(u - 16)}^{\frac{2}{2}}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\int_{16}^{17} \frac{{(u - 16)}^{1}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.1.5

간단히 합니다.

$\int_{16}^{17} \frac{u - 16}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

단계 2.2

$\frac{u - 16}{\sqrt{u}}$ 에 $\frac{1}{2}$ 을 곱합니다.

$\int_{16}^{17} \frac{u - 16}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

단계 2.3

$\sqrt{u}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\int_{16}^{17} \frac{u - 16}{2 \sqrt{u}} d u$

단계 3

$\frac{1}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} \frac{u - 16}{\sqrt{u}} d u$

단계 4

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} \frac{u - 16}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 4.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} (u - 16) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 4.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 4.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} (u - 16) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 4.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} (u - 16) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 4.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} (u - 16) u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5

$(u - 16) u^{- \frac{1}{2}}$ 을 전개합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} u \cdot u^{- \frac{1}{2}} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5.2

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} u^{1} u^{- \frac{1}{2}} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5.3

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} u^{1 - \frac{1}{2}} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5.4

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} u^{\frac{2 - 1}{2}} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 5.6

$2$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{2} \int_{16}^{17} u^{\frac{1}{2}} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{2} (\int_{16}^{17} u^{\frac{1}{2}} d u + \int_{16}^{17} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

단계 7

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{16}^{17} + \int_{16}^{17} - 16 u^{- \frac{1}{2}} d u)$

단계 8

$- 16$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 16$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{16}^{17} - 16 \int_{16}^{17} u^{- \frac{1}{2}} d u)$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{16}^{17} - 16 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{16}^{17}))$

단계 10

분수를 통분합니다.

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단계 10.1

$17$ , $16$ 일 때, $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 17^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}} - 16 (2 u^{\frac{1}{2}}]_{16}^{17}))$

단계 10.2

$17$ , $16$ 일 때, $2 u^{\frac{1}{2}}$ 값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{3} \cdot 17^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

단계 10.3

$\frac{2}{3}$ 와 $17^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

단계 10.4

식을 간단히 합니다.

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단계 10.4.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.1.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

단계 10.4.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

단계 10.4.1.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 10.4.1.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

단계 10.4.1.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 4^{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

단계 10.4.1.4

$4$ 를 $3$ 승 합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 64 - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

단계 10.4.2

간단히 합니다.

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단계 10.4.2.1

$64$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - 64 (\frac{2}{3}) - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

단계 10.4.2.2

$- 64$ 와 $\frac{2}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 64 \cdot 2}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

단계 10.4.2.3

$- 64$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

단계 10.4.2.4

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 16^{\frac{1}{2}}))$

단계 10.4.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.3.1

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot {(4^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

단계 10.4.3.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}))$

단계 10.4.3.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.3.3.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{2 (\frac{1}{2})}))$

단계 10.4.3.3.2

수식을 다시 씁니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4^{1}))$

단계 10.4.3.4

지수값을 계산합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 4))$

단계 10.4.4

$- 2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{128}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8))$

단계 10.4.5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 10.4.5.1

공통 분모를 가지는 분수로 $- 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8)$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8) \cdot \frac{3}{3} - \frac{128}{3})$

단계 10.4.5.2

$- 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8)$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8) \cdot 3}{3} - \frac{128}{3})$

단계 10.4.5.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}} - 16 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8) \cdot 3}{3} - \frac{128}{3})$

단계 10.4.5.4

$3$ 에 $- 16$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}} - 48 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8)}{3} - \frac{128}{3})$

단계 11

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{1}{2} \cdot (\frac{2 \cdot 17^{\frac{3}{2}} - 48 (2 \cdot 17^{\frac{1}{2}} - 8)}{3} - \frac{128}{3})$

소수 형태:

$0.06124186 \dots$