미적분 예제

$\int \frac{x^{2}}{{(16 - x^{3})}^{2}} d x$

단계 1

먼저 $u = 16 - x^{3}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 3 x^{2} d x$ 이므로 $- \frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 16 - x^{3}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$16 - x^{3}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [16 - x^{3}]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $16 - x^{3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.1.2.2

$16$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $16$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $16$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{3}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

단계 1.1.3.2

$n = 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (3 x^{2})$

단계 1.1.3.3

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 3 x^{2}$

단계 1.1.4

$0$ 에서 $3 x^{2}$ 을 뺍니다.

$- 3 x^{2}$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{- 3} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int \frac{1}{u^{2}} (- \frac{1}{3}) d u$

단계 2.2

$\frac{1}{u^{2}}$ 에 $\frac{1}{3}$ 을 곱합니다.

$\int - \frac{1}{u^{2} \cdot 3} d u$

단계 2.3

$u^{2}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\int - \frac{1}{3 u^{2}} d u$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{1}{3 u^{2}} d u$

단계 4

$\frac{1}{3}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

단계 5

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 5.1

$u^{2}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$- \frac{1}{3} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

단계 5.2

${(u^{2})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 5.2.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$- \frac{1}{3} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

단계 5.2.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{1}{3} \int u^{- 2} d u$

단계 6

멱의 법칙에 의해 $u^{- 2}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $- u^{- 1}$ 가 됩니다.

$- \frac{1}{3} (- u^{- 1} + C)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$- \frac{1}{3} (- u^{- 1} + C)$ 을 $- \frac{1}{3} (- \frac{1}{u}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{1}{3} (- \frac{1}{u}) + C$

단계 7.2

간단히 합니다.

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단계 7.2.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$1 (\frac{1}{3}) \frac{1}{u} + C$

단계 7.2.2

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u} + C$

단계 7.2.3

$\frac{1}{3}$ 에 $\frac{1}{u}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3 u} + C$

단계 8

$u$ 를 모두 $16 - x^{3}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{3 (16 - x^{3})} + C$