미적분 예제

$\int 3 {(3 x - 1)}^{4} d x$

단계 1

먼저 $u = 3 x - 1$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 3 x - 1$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$3 x - 1$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $3 x - 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.3.2

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.3.3

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

단계 1.1.4

상수의 미분 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 1.1.4.1

$- 1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 1$ 입니다.

$3 + 0$

단계 1.1.4.2

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$3$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int u^{4} d u$

단계 2

멱의 법칙에 의해 $u^{4}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} u^{5}$ 가 됩니다.

$\frac{1}{5} u^{5} + C$

단계 3

$u$ 를 모두 $3 x - 1$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{5} {(3 x - 1)}^{5} + C$