미적분 예제

$\int \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) d x$

단계 1

반각 공식을 이용해 $\cos^{2} (x)$ 를 $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \sin^{2} (x) \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

단계 2

반각 공식을 이용해 $\sin^{2} (x)$ 를 $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} \cdot \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

단계 3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ 에 $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ 을 곱합니다.

$\int \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{2 \cdot 2} d x$

단계 3.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int \frac{(1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x))}{4} d x$

단계 4

$\frac{1}{4}$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \int (1 - \cos (2 x)) (1 + \cos (2 x)) d x$

단계 5

먼저 $u_{1} = 2 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 2 d x$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$u_{1} = 2 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1.1

$2 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

단계 5.1.2

$2$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $2 x$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

단계 5.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 5.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 5.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{4} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) \frac{1}{2} d u_{1}$

단계 6

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1})$

단계 7

모두 곱해 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1.1

$\frac{1}{2}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{2 \cdot 4} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

단계 7.1.2

$2$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{8} \int (1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

단계 7.2

$(1 - \cos (u_{1})) (1 + \cos (u_{1}))$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{8} \int 1 (1 + \cos (u_{1})) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

단계 7.2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) (1 + \cos (u_{1})) d u_{1}$

단계 7.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cdot 1 - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

단계 7.2.4

$\cos (u_{1})$ 를 옮깁니다.

$\frac{1}{8} \int 1 \cdot 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

단계 7.2.5

$1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{8} \int 1 + 1 \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

단계 7.2.6

$\cos (u_{1})$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - 1 \cdot 1 \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

단계 7.2.7

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) \cos (u_{1}) d u_{1}$

단계 7.2.8

마이너스 부호를 앞으로 보냅니다.

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

단계 7.2.9

$\cos (u_{1})$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos (u_{1})) d u_{1}$

단계 7.2.10

$\cos (u_{1})$ 를 $1$ 승 합니다.

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - (\cos^{1} (u_{1}) \cos^{1} (u_{1})) d u_{1}$

단계 7.2.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - {\cos (u_{1})}^{1 + 1} d u_{1}$

단계 7.2.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\frac{1}{8} \int 1 + \cos (u_{1}) - \cos (u_{1}) - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 7.2.13

$\cos (u_{1})$ 에서 $\cos (u_{1})$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{8} \int 1 + 0 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 7.2.14

$0$ 에서 $\cos^{2} (u_{1})$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{8} \int 1 - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1}$

단계 8

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{8} (\int d u_{1} + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

단계 9

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C + \int - \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

단계 10

$- 1$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

단계 11

반각 공식을 이용해 $\cos^{2} (u_{1})$ 를 $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1})$

단계 12

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

단계 13

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

단계 14

상수 규칙을 적용합니다.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}))$

단계 15

먼저 $u_{2} = 2 u_{1}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = 2 d u_{1}$ 이므로 $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$u_{2} = 2 u_{1}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1.1

$2 u_{1}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

단계 15.1.2

$2$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $2 u_{1}$ 의 미분은 $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 입니다.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

단계 15.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$2 \cdot 1$

단계 15.1.4

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$2$

단계 15.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}))$

단계 16

$\cos (u_{2})$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}))$

단계 17

$\frac{1}{2}$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

단계 18

$\cos (u_{2})$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\sin (u_{2})$ 입니다.

$\frac{1}{8} (u_{1} + C - \frac{1}{2} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)))$

단계 19

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.1

간단히 합니다.

$\frac{1}{8} (u_{1} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

단계 19.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 19.2.1

공통 분모를 가지는 분수로 $u_{1}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{8} (u_{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

단계 19.2.2

$u_{1}$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1} \cdot 2}{2} - \frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

단계 19.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1} \cdot 2 - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

단계 19.2.4

$u_{1}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{1}{8} (\frac{2 \cdot u_{1} - u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

단계 19.2.5

$2 u_{1}$ 에서 $u_{1}$ 을 뺍니다.

$\frac{1}{8} (\frac{u_{1}}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

단계 20

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 20.1

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{8} (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (u_{2})}{4}) + C$

단계 20.2

$u_{2}$ 를 모두 $2 u_{1}$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{8} (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 u_{1})}{4}) + C$

단계 20.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 x$ 로 바꿉니다.

$\frac{1}{8} (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

단계 21

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.1.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{1}{8} (\frac{2 x}{2} - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

단계 21.1.1.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\frac{1}{8} (x - \frac{\sin (2 (2 x))}{4}) + C$

단계 21.1.2

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{8} (x - \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

단계 21.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\frac{1}{8} x + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

단계 21.3

$\frac{1}{8}$ 와 $x$ 을 묶습니다.

$\frac{x}{8} + \frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 x)}{4}) + C$

단계 21.4

$\frac{1}{8} (- \frac{\sin (4 x)}{4})$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 21.4.1

$\frac{1}{8}$ 에 $\frac{\sin (4 x)}{4}$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{8 \cdot 4} + C$

단계 21.4.2

$8$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$\frac{x}{8} - \frac{\sin (4 x)}{32} + C$

단계 22

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin (4 x) + C$