미적분 예제

$\int 5 x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

단계 1

먼저 $u = 1 - x^{2}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - 2 x d x$ 이므로 $- \frac{1}{2} d u = x d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = 1 - x^{2}$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$1 - x^{2}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

단계 1.1.2

미분합니다.

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단계 1.1.2.1

합의 법칙에 의해 $1 - x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 1.1.2.2

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

단계 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 1.1.3.1

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x^{2}$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 입니다.

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

단계 1.1.3.2

$n = 2$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 - (2 x)$

단계 1.1.3.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$0 - 2 x$

단계 1.1.4

$0$ 에서 $2 x$ 을 뺍니다.

$- 2 x$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int 5 {\sqrt{- u + 1}}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

${\sqrt{- u + 1}}^{2}$ 을 $- u + 1$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 2.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{- u + 1}$ 을(를) ${(- u + 1)}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int 5 {({(- u + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 2.1.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int 5 {(- u + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 2.1.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\int 5 {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 2.1.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.1.4.1

공약수로 약분합니다.

$\int 5 {(- u + 1)}^{\frac{2}{2}} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 2.1.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\int 5 {(- u + 1)}^{1} \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 2.1.5

간단히 합니다.

$\int 5 (- u + 1) \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

단계 2.2

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int 5 (- u + 1) \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

단계 2.3

$- 1$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$\int - 5 (- u + 1) \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

단계 2.4

$\frac{1}{2}$ 와 $- 5$ 을 묶습니다.

$\int \frac{- 5}{2} (- u + 1) \sqrt{u} d u$

단계 2.5

$\sqrt{u}$ 와 $\frac{- 5}{2}$ 을 묶습니다.

$\int \frac{\sqrt{u} \cdot - 5}{2} (- u + 1) d u$

단계 2.6

$\sqrt{u}$ 의 왼쪽으로 $- 5$ 이동하기

$\int \frac{- 5 \cdot \sqrt{u}}{2} (- u + 1) d u$

단계 2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int - \frac{5 \sqrt{u}}{2} (- u + 1) d u$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int \frac{5 \sqrt{u}}{2} (- u + 1) d u$

단계 4

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} (- u + 1) d u$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

분배 법칙을 적용합니다.

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} (- u) + \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 d u$

단계 5.2

$\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ 와 $- 1$ 을 다시 정렬합니다.

$- \int - 1 \cdot \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} u + \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 d u$

단계 5.3

$\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ 와 $1$ 을 다시 정렬합니다.

$- \int - 1 \cdot \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} u + 1 \cdot \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 5.4

$\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ 와 $u$ 을 묶습니다.

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}} u}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 5.5

$u$ 를 $1$ 승 합니다.

$- \int - 1 \frac{5 (u^{\frac{1}{2}} u^{1})}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 5.6

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2} + 1}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 5.7

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 5.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{1 + 2}{2}}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 5.9

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} + 1 \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 5.10

$\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \int - 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u$

단계 5.11

$- 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2}$ 와 $\frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

단계 6

$- 1 \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2}$ 을 $- \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

단계 7

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$- (\int \frac{5 u^{\frac{1}{2}}}{2} d u + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

단계 8

$\frac{5}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{5}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{5}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

단계 9

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$- (\frac{5}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C) + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

단계 10

$\frac{2}{3}$ 와 $u^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \int - \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

단계 11

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \int \frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{2} d u)$

단계 12

$\frac{5}{2}$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $\frac{5}{2}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - (\frac{5}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u))$

단계 13

멱의 법칙에 의해 $u^{\frac{3}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \frac{5}{2} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

단계 14

간단히 합니다.

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단계 14.1

$\frac{2}{5}$ 와 $u^{\frac{5}{2}}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - \frac{5}{2} (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

단계 14.2

간단히 합니다.

$- (\frac{5 u^{\frac{3}{2}}}{3} - u^{\frac{5}{2}}) + C$

단계 14.3

항을 다시 정렬합니다.

$- (\frac{5}{3} u^{\frac{3}{2}} - u^{\frac{5}{2}}) + C$

단계 15

$u$ 를 모두 $1 - x^{2}$ 로 바꿉니다.

$- (\frac{5}{3} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + C$

단계 16

간단히 합니다.

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단계 16.1

$\frac{5}{3}$ 와 ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + C$

단계 16.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$- (\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3}) + C$

단계 16.3

$- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$- (\frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3}) + C$

단계 16.4

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

단계 16.5

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- \frac{5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}}{3} + C$

단계 17

항을 다시 정렬합니다.

$- \frac{1}{3} (5 {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} - 3 {(1 - x^{2})}^{\frac{5}{2}}) + C$