미적분 예제

$\int x^{2} e^{3 x} d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = 3 x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = 3 d x$ 이므로 $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u_{1} = 3 x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$3 x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

단계 1.1.2

$3$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $3 x$ 의 미분은 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$3 \cdot 1$

단계 1.1.4

$3$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$3$

단계 1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int {(\frac{u_{1}}{3})}^{2} e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1}$

단계 2

$\frac{1}{3}$ 와 $e^{u_{1}}$ 을 묶습니다.

$\int {(\frac{u_{1}}{3})}^{2} \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1}$

단계 3

먼저 $u_{2} = \frac{u_{1}}{3}$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = \frac{1}{3} d u_{1}$ 이므로 $3 d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 3.1

$u_{2} = \frac{u_{1}}{3}$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

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단계 3.1.1

$\frac{u_{1}}{3}$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{3}]$

단계 3.1.2

$\frac{1}{3}$ 은 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로 $u_{1}$ 에 대한 $\frac{u_{1}}{3}$ 의 미분은 $\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ 입니다.

$\frac{1}{3} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

단계 3.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$\frac{1}{3} \cdot 1$

단계 3.1.4

$\frac{1}{3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\frac{1}{3}$

단계 3.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int {u_{2}}^{2} e^{3 u_{2}} d u_{2}$

단계 4

$u = {u_{2}}^{2}$ 이고 $d v = e^{3 u_{2}}$ 일 때 $\int u d v = u v - \int v d u$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

${u_{2}}^{2} (\frac{1}{3} e^{u_{3}}) - \int \frac{1}{3} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

단계 5

간단히 합니다.

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단계 5.1

$\frac{1}{3}$ 와 $e^{u_{3}}$ 을 묶습니다.

${u_{2}}^{2} \frac{e^{u_{3}}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

단계 5.2

${u_{2}}^{2}$ 와 $\frac{e^{u_{3}}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \int \frac{1}{3} e^{u_{3}} (2 u_{2}) d u_{2}$

단계 6

$\frac{1}{3} e^{u_{3}} \cdot 2$ 은 $u_{2}$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{3} e^{u_{3}} \cdot 2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - (\frac{1}{3} e^{u_{3}} \cdot 2 \int u_{2} d u_{2})$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

$\frac{1}{3}$ 와 $e^{u_{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - (\frac{e^{u_{3}}}{3} \cdot 2 \int u_{2} d u_{2})$

단계 7.2

$\frac{e^{u_{3}}}{3}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - (\frac{e^{u_{3}} \cdot 2}{3} \int u_{2} d u_{2})$

단계 7.3

$e^{u_{3}}$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} \int u_{2} d u_{2}$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $u_{2}$ 를 $u_{2}$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ 가 됩니다.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

$\frac{1}{2}$ 와 ${u_{2}}^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$

단계 9.2

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{2 e^{u_{3}}}{3} (\frac{{u_{2}}^{2}}{2} + C)$ 을 $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + \frac{- e^{u_{3}} {u_{2}}^{2}}{3} + C$ 로 바꿔 씁니다.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + \frac{- e^{u_{3}} {u_{2}}^{2}}{3} + C$

단계 9.3

간단히 합니다.

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단계 9.3.1

$\frac{1}{3}$ 와 ${u_{2}}^{2}$ 을 묶습니다.

$\frac{{u_{2}}^{2}}{3} e^{u_{3}} + \frac{- 1}{3} e^{u_{3}} {u_{2}}^{2} + C$

단계 9.3.2

$\frac{{u_{2}}^{2}}{3}$ 와 $e^{u_{3}}$ 을 묶습니다.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + \frac{- 1}{3} e^{u_{3}} {u_{2}}^{2} + C$

단계 9.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{1}{3} e^{u_{3}} {u_{2}}^{2} + C$

단계 9.3.4

$e^{u_{3}}$ 와 $\frac{1}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{e^{u_{3}}}{3} {u_{2}}^{2} + C$

단계 9.3.5

${u_{2}}^{2}$ 와 $\frac{e^{u_{3}}}{3}$ 을 묶습니다.

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} - \frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3} + C$

단계 9.3.6

$\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3}$ 에서 $\frac{{u_{2}}^{2} e^{u_{3}}}{3}$ 을 뺍니다.

$0 + C$

단계 9.3.7

$0$ 를 $C$ 에 더합니다.

$C$