미적분 예제

$π \int_{0}^{2} {(3 x^{2} + 2)}^{2} d x$

단계 1

해당 적분은 치환적분으로 풀 수 없습니다. Mathway에서 다른 방법을 사용합니다.

단계 2

${(3 x^{2} + 2)}^{2}$ 을 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

${(3 x^{2} + 2)}^{2}$ 을 $(3 x^{2} + 2) (3 x^{2} + 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$π \int_{0}^{2} (3 x^{2} + 2) (3 x^{2} + 2) d x$

단계 2.2

분배 법칙을 적용합니다.

$π \int_{0}^{2} 3 x^{2} (3 x^{2} + 2) + 2 (3 x^{2} + 2) d x$

단계 2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$π \int_{0}^{2} 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 2 + 2 (3 x^{2} + 2) d x$

단계 2.4

분배 법칙을 적용합니다.

$π \int_{0}^{2} 3 x^{2} (3 x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 2 + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 2 d x$

단계 2.5

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$π \int_{0}^{2} 3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 2 + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 2 d x$

단계 2.6

$x^{2}$ 를 옮깁니다.

$π \int_{0}^{2} 3 \cdot 3 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 2 d x$

단계 2.7

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$π \int_{0}^{2} 9 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

단계 2.8

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$π \int_{0}^{2} 9 x^{2 + 2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

단계 2.9

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 3 \cdot 2 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

단계 2.10

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 6 x^{2} + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

단계 2.11

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 2 \cdot 2 d x$

단계 2.12

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 6 x^{2} + 6 x^{2} + 4 d x$

단계 2.13

$6 x^{2}$ 를 $6 x^{2}$ 에 더합니다.

$π \int_{0}^{2} 9 x^{4} + 12 x^{2} + 4 d x$

단계 3

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$π (\int_{0}^{2} 9 x^{4} d x + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

단계 4

$9$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $9$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$π (9 \int_{0}^{2} x^{4} d x + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

단계 5

멱의 법칙에 의해 $x^{4}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{5} x^{5}$ 가 됩니다.

$π (9 (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

단계 6

$\frac{1}{5}$ 와 $x^{5}$ 을 묶습니다.

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 12 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

단계 7

$12$ 은 $x$ 에 대해 상수이므로, $12$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 4 d x)$

단계 8

멱의 법칙에 의해 $x^{2}$ 를 $x$ 에 대해 적분하면 $\frac{1}{3} x^{3}$ 가 됩니다.

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 d x)$

단계 9

$\frac{1}{3}$ 와 $x^{3}$ 을 묶습니다.

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 4 d x)$

단계 10

상수 규칙을 적용합니다.

$π (9 (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{2}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 x]_{0}^{2})$

단계 11

대입하여 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.1

$2$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{5}}{5}$ 값을 계산합니다.

$π (9 ((\frac{2^{5}}{5}) - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 4 x]_{0}^{2})$

단계 11.2

$2$ , $0$ 일 때, $\frac{x^{3}}{3}$ 값을 계산합니다.

$π (9 (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 4 x]_{0}^{2})$

단계 11.3

$2$ , $0$ 일 때, $4 x$ 값을 계산합니다.

$π (9 (\frac{2^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.1

$2$ 를 $5$ 승 합니다.

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{0^{5}}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.2

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{0}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.3

$0$ 및 $5$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.3.1

$0$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{5 (0)}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.3.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.3.2.1

$5$ 에서 $5$ 를 인수분해합니다.

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.3.2.2

공약수로 약분합니다.

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.3.2.3

수식을 다시 씁니다.

$π (9 (\frac{32}{5} - \frac{0}{1}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.3.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π (9 (\frac{32}{5} - 0) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.4

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$π (9 (\frac{32}{5} + 0) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.5

$\frac{32}{5}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$π (9 (\frac{32}{5}) + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.6

$9$ 와 $\frac{32}{5}$ 을 묶습니다.

$π (\frac{9 \cdot 32}{5} + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.7

$9$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.8

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.9

$0$ 을 여러 번 거듭제곱해도 $0$ 이 나옵니다.

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.10

$0$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.10.1

$0$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.10.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.10.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.10.2.2

공약수로 약분합니다.

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.10.2.3

수식을 다시 씁니다.

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.10.2.4

$0$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} - 0) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.11

$- 1$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3} + 0) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.12

$\frac{8}{3}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$π (\frac{288}{5} + 12 (\frac{8}{3}) + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.13

$12$ 와 $\frac{8}{3}$ 을 묶습니다.

$π (\frac{288}{5} + \frac{12 \cdot 8}{3} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.14

$12$ 에 $8$ 을 곱합니다.

$π (\frac{288}{5} + \frac{96}{3} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.15

$96$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.15.1

$96$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$π (\frac{288}{5} + \frac{3 \cdot 32}{3} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.15.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.15.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$π (\frac{288}{5} + \frac{3 \cdot 32}{3 (1)} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.15.2.2

공약수로 약분합니다.

$π (\frac{288}{5} + \frac{3 \cdot 32}{3 \cdot 1} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.15.2.3

수식을 다시 씁니다.

$π (\frac{288}{5} + \frac{32}{1} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.15.2.4

$32$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$π (\frac{288}{5} + 32 + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.16

공통 분모를 가지는 분수로 $32$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$π (\frac{288}{5} + 32 \cdot \frac{5}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.17

$32$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$π (\frac{288}{5} + \frac{32 \cdot 5}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.18

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$π (\frac{288 + 32 \cdot 5}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.19

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.19.1

$32$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$π (\frac{288 + 160}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.19.2

$288$ 를 $160$ 에 더합니다.

$π (\frac{448}{5} + (4 \cdot 2) - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.20

$4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$π (\frac{448}{5} + 8 - 4 \cdot 0)$

단계 11.4.21

$- 4$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$π (\frac{448}{5} + 8 + 0)$

단계 11.4.22

$8$ 를 $0$ 에 더합니다.

$π (\frac{448}{5} + 8)$

단계 11.4.23

공통 분모를 가지는 분수로 $8$ 을 표현하기 위해 $\frac{5}{5}$ 을 곱합니다.

$π (\frac{448}{5} + 8 \cdot \frac{5}{5})$

단계 11.4.24

$8$ 와 $\frac{5}{5}$ 을 묶습니다.

$π (\frac{448}{5} + \frac{8 \cdot 5}{5})$

단계 11.4.25

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$π \frac{448 + 8 \cdot 5}{5}$

단계 11.4.26

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 11.4.26.1

$8$ 에 $5$ 을 곱합니다.

$π \frac{448 + 40}{5}$

단계 11.4.26.2

$448$ 를 $40$ 에 더합니다.

$π \frac{488}{5}$

단계 11.4.27

$π$ 와 $\frac{488}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{π \cdot 488}{5}$

단계 11.4.28

$π$ 의 왼쪽으로 $488$ 이동하기

$\frac{488 π}{5}$

단계 12

결과값은 다양한 형태로 나타낼 수 있습니다.

완전 형식:

$\frac{488 π}{5}$

소수 형태:

$306.61944299 \dots$

단계 13