미적분 예제

$\int x^{2} e^{- x} d x$

단계 1

먼저 $u = - x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = - d x$ 이므로 $- d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = - x$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$- x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [- x]$

단계 1.1.2

$- 1$ 은 $x$ 에 대해 일정하므로 $x$ 에 대한 $- x$ 의 미분은 $- \frac{d}{d x} [x]$ 입니다.

$- \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$- 1 \cdot 1$

단계 1.1.4

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- 1$

단계 1.2

$u$ 와 $d u$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int - {(- u)}^{2} e^{u} d u$

단계 2

간단히 합니다.

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단계 2.1

$- u$ 에서 $- 1$ 를 인수분해합니다.

$\int - {(- (u))}^{2} e^{u} d u$

단계 2.2

$- (u)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int - ({(- 1)}^{2} u^{2}) e^{u} d u$

단계 2.3

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int - (1 u^{2}) e^{u} d u$

단계 2.4

$u^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$\int - u^{2} e^{u} d u$

단계 3

$- 1$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $- 1$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- \int u^{2} e^{u} d u$

단계 4

$w = u^{2}$ 이고 $dv = e^{u}$ 일 때 $\int w d v = w v - \int v d w$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$- (u^{2} e^{u} - \int e^{u} (2 u) d u)$

단계 5

$2$ 은 $u$ 에 대해 상수이므로, $2$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$- (u^{2} e^{u} - (2 \int e^{u} (u) d u))$

단계 6

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- (u^{2} e^{u} - 2 \int e^{u} (u) d u)$

단계 7

$w = u$ 이고 $dv = e^{u}$ 일 때 $\int w d v = w v - \int v d w$ 공식을 이용하여 부분 적분합니다.

$- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - \int e^{u} d u))$

단계 8

$e^{u}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $e^{u}$ 입니다.

$- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - (e^{u} + C)))$

단계 9

$- (u^{2} e^{u} - 2 (u e^{u} - (e^{u} + C)))$ 을 $- (u^{2} e^{u} - 2 u e^{u} + 2 e^{u}) + C$ 로 바꿔 씁니다.

$- (u^{2} e^{u} - 2 u e^{u} + 2 e^{u}) + C$

단계 10

$u$ 를 모두 $- x$ 로 바꿉니다.

$- ({(- x)}^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

단계 11

간단히 합니다.

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단계 11.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 11.1.1

$- x$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$- ({(- 1)}^{2} x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

단계 11.1.2

$- 1$ 를 $2$ 승 합니다.

$- (1 x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

단계 11.1.3

$x^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- (x^{2} e^{- x} - 2 (- x) e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

단계 11.1.4

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$- (x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + C$

단계 11.2

분배 법칙을 적용합니다.

$- (x^{2} e^{- x}) - (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C$

단계 11.3

간단히 합니다.

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단계 11.3.1

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- x^{2} e^{- x} - 2 (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) + C$

단계 11.3.2

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$- x^{2} e^{- x} - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + C$

$- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + C$