미적분 예제

$\int_{e}^{e^{4}} \frac{1}{x \sqrt{\ln (x)}} d x$

단계 1

먼저 $u = \ln (x)$ 로 정의합니다. 그러면 $d u = \frac{1}{x} d x$ 이므로 $x d u = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u$ 와 $d$ $u$ 를 이용하여 다시 씁니다.

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단계 1.1

$u = \ln (x)$ 로 둡니다. $\frac{d u}{d x}$ 를 구합니다.

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단계 1.1.1

$\ln (x)$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

단계 1.1.2

$\ln (x)$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{1}{x}$ 입니다.

$\frac{1}{x}$

단계 1.2

$u = \ln (x)$ 의 $x$ 에 극한의 하한을 대입합니다.

$u_{lower} = \ln (e)$

단계 1.3

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$u_{lower} = 1$

단계 1.4

$u = \ln (x)$ 의 $x$ 에 극한의 상한을 대입합니다.

$u_{upper} = \ln (e^{4})$

단계 1.5

간단히 합니다.

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단계 1.5.1

로그 공식을 이용해 지수에서 $4$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$u_{upper} = 4 \ln (e)$

단계 1.5.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$u_{upper} = 4 \cdot 1$

단계 1.5.3

$4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$u_{upper} = 4$

단계 1.6

$u_{lower}$ , $u_{upper}$ 에 대해 알아낸 값은 정적분을 계산하는 데 사용됩니다.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

단계 1.7

$u$ 와 $d u$ , 새로운 적분의 극한을 활용하여 문제를 바꿔 씁니다.

$\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

단계 2

지수의 기본 법칙을 적용합니다.

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단계 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u}$ 을(를) $u^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int_{1}^{4} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

단계 2.2

$u^{\frac{1}{2}}$ 에 $- 1$ 승을 취하여 분모 밖으로 옮깁니다.

$\int_{1}^{4} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

단계 2.3

${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 의 지수를 곱합니다.

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단계 2.3.1

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

단계 2.3.2

$\frac{1}{2}$ 와 $- 1$ 을 묶습니다.

$\int_{1}^{4} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

단계 2.3.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\int_{1}^{4} u^{- \frac{1}{2}} d u$

단계 3

멱의 법칙에 의해 $u^{- \frac{1}{2}}$ 를 $u$ 에 대해 적분하면 $2 u^{\frac{1}{2}}$ 가 됩니다.

$2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

단계 4

식을 간단히 합니다.

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단계 4.1

$4$ , $1$ 일 때, $2 u^{\frac{1}{2}}$ 값을 계산합니다.

$(2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

단계 4.2

간단히 합니다.

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단계 4.2.1

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

단계 4.2.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

단계 4.2.3

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 4.2.3.1

공약수로 약분합니다.

$2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

단계 4.2.3.2

수식을 다시 씁니다.

$2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

단계 4.2.4

지수값을 계산합니다.

$2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

단계 4.3

식을 간단히 합니다.

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단계 4.3.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

단계 4.3.2

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$4 - 2 \cdot 1$

단계 4.3.3

$- 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 - 2$

단계 4.3.4

$4$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$2$