미적분 예제

$\int x^{2} \sqrt{2 + x} d x$

단계 1

먼저 $u_{1} = 2 + x$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{1} = d x$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{1}$ 와 $d$ $u_{1}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

$u_{1} = 2 + x$ 로 둡니다. $\frac{d u_{1}}{d x}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1.1

$2 + x$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d x} [2 + x]$

단계 1.1.2

합의 법칙에 의해 $2 + x$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.3

$2$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

단계 1.1.4

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$0 + 1$

단계 1.1.5

$0$ 를 $1$ 에 더합니다.

$1$

단계 1.2

$u_{1}$ 와 $d u_{1}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int {(u_{1} - 2)}^{2} \sqrt{u_{1}} d u_{1}$

단계 2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{u_{1}}$ 을(를) ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\int {(u_{1} - 2)}^{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2}} d u_{1}$

단계 3

먼저 $u_{2} = u_{1} - 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{2} = d u_{1}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{2}$ 와 $d$ $u_{2}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$u_{2} = u_{1} - 2$ 로 둡니다. $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

$u_{1} - 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1} - 2]$

단계 3.1.2

합의 법칙에 의해 $u_{1} - 2$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d u_{1}} [u_{1}] + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$

단계 3.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 는 $n {u_{1}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d u_{1}} [- 2]$

단계 3.1.4

$- 2$ 이 $u_{1}$ 에 대해 일정하므로, $- 2$ 를 $u_{1}$ 에 대해 미분하면 $- 2$ 입니다.

$1 + 0$

단계 3.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 3.2

$u_{2}$ 와 $d u_{2}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int {u_{2}}^{2} {(u_{2} + 2)}^{\frac{1}{2}} d u_{2}$

단계 4

먼저 $u_{3} = u_{2} + 2$ 로 정의합니다. 그러면 $d u_{3} = d u_{2}$ 가 됩니다. 이 식을 $u_{3}$ 와 $d$ $u_{3}$ 를 이용하여 다시 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$u_{3} = u_{2} + 2$ 로 둡니다. $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ 를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1.1

$u_{2} + 2$ 를 미분합니다.

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2} + 2]$

단계 4.1.2

합의 법칙에 의해 $u_{2} + 2$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [2]$ 가 됩니다.

$\frac{d}{d u_{2}} [u_{2}] + \frac{d}{d u_{2}} [2]$

단계 4.1.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 는 $n {u_{2}}^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$1 + \frac{d}{d u_{2}} [2]$

단계 4.1.4

$2$ 이 $u_{2}$ 에 대해 일정하므로, $2$ 를 $u_{2}$ 에 대해 미분하면 $2$ 입니다.

$1 + 0$

단계 4.1.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$1$

단계 4.2

$u_{3}$ 와 $d u_{3}$ 를 사용해 문제를 바꿔 씁니다.

$\int {(u_{3} - 2)}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

${(u_{3} - 2)}^{2}$ 을 $(u_{3} - 2) (u_{3} - 2)$ 로 바꿔 씁니다.

$\int (u_{3} - 2) (u_{3} - 2) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.2

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (u_{3} (u_{3} - 2) - 2 (u_{3} - 2)) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.3

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot - 2 - 2 (u_{3} - 2)) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.4

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot - 2 - 2 u_{3} - 2 \cdot - 2) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.5

분배 법칙을 적용합니다.

$\int (u_{3} \cdot u_{3} + u_{3} \cdot - 2) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + (- 2 u_{3} - 2 \cdot - 2) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.6

분배 법칙을 적용합니다.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + u_{3} \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + (- 2 u_{3} - 2 \cdot - 2) {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.7

분배 법칙을 적용합니다.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + u_{3} \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.8

$u_{3}$ 와 $- 2$ 을 다시 정렬합니다.

$\int u_{3} \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.9

$u_{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int {u_{3}}^{1} u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.10

$u_{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.11

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int {u_{3}}^{1 + 1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.12

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int {u_{3}}^{2} {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.13

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int {u_{3}}^{2 + \frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.14

공통 분모를 가지는 분수로 $2$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$\int {u_{3}}^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.15

$2$ 와 $\frac{2}{2}$ 을 묶습니다.

$\int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.16

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int {u_{3}}^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.17

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.17.1

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\int {u_{3}}^{\frac{4 + 1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.17.2

$4$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.18

$u_{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.19

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.20

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.21

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.22

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 2 u_{3} \cdot {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.23

$u_{3}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 2 ({u_{3}}^{1} {u_{3}}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.24

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 2 {u_{3}}^{1 + \frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.25

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.26

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.27

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot - 2 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.28

$- 2$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} - 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.29

$- 2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 에서 $2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 을 뺍니다.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3}$

단계 5.30

$- 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 와 $4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 을 다시 정렬합니다.

$\int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} - 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

단계 5.31

${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ 와 $4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 을 다시 정렬합니다.

$\int 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} + {u_{3}}^{\frac{5}{2}} - 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

단계 6

하나의 적분을 여러 개의 적분으로 나눕니다.

$\int 4 {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int - 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

단계 7

$4$ 은 $u_{3}$ 에 대해 상수이므로, $4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 \int {u_{3}}^{\frac{1}{2}} d u_{3} + \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int - 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

단계 8

멱의 법칙에 의해 ${u_{3}}^{\frac{1}{2}}$ 를 $u_{3}$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 가 됩니다.

$4 (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C) + \int {u_{3}}^{\frac{5}{2}} d u_{3} + \int - 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

단계 9

멱의 법칙에 의해 ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ 를 $u_{3}$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}}$ 가 됩니다.

$4 (\frac{2}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + C) + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \int - 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

단계 10

$\frac{2}{3}$ 와 ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C + \int - 4 {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

단계 11

$- 4$ 은 $u_{3}$ 에 대해 상수이므로, $- 4$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$4 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C - 4 \int {u_{3}}^{\frac{3}{2}} d u_{3}$

단계 12

멱의 법칙에 의해 ${u_{3}}^{\frac{3}{2}}$ 를 $u_{3}$ 에 대해 적분하면 $\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ 가 됩니다.

$4 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C - 4 (\frac{2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C)$

단계 13

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 13.1

$\frac{2}{5}$ 와 ${u_{3}}^{\frac{5}{2}}$ 을 묶습니다.

$4 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + C - 4 (\frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

단계 13.2

간단히 합니다.

$\frac{8 {u_{3}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{3}}^{\frac{7}{2}}}{7} - 4 \frac{2 {u_{3}}^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

단계 14

항을 다시 정렬합니다.

$\frac{8}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} - 4 (\frac{2}{5}) {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

단계 15

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 15.1

$- 4$ 와 $\frac{2}{5}$ 을 묶습니다.

$\frac{8}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{- 4 \cdot 2}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

단계 15.2

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$\frac{8}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} + \frac{- 8}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

단계 15.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$\frac{8}{3} {u_{3}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{7} {u_{3}}^{\frac{7}{2}} - \frac{8}{5} {u_{3}}^{\frac{5}{2}} + C$

단계 16

각 적분 대입 변수를 다시 치환합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 16.1

$u_{3}$ 를 모두 $u_{2} + 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{8}{3} {(u_{2} + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{7} {(u_{2} + 2)}^{\frac{7}{2}} - \frac{8}{5} {(u_{2} + 2)}^{\frac{5}{2}} + C$

단계 16.2

$u_{2}$ 를 모두 $u_{1} - 2$ 로 바꿉니다.

$\frac{8}{3} {(u_{1} - 2 + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{7} {(u_{1} - 2 + 2)}^{\frac{7}{2}} - \frac{8}{5} {(u_{1} - 2 + 2)}^{\frac{5}{2}} + C$

단계 16.3

$u_{1}$ 를 모두 $2 + x$ 로 바꿉니다.

$\frac{8}{3} {(2 + x - 2 + 2)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{7} {(2 + x - 2 + 2)}^{\frac{7}{2}} - \frac{8}{5} {(2 + x - 2 + 2)}^{\frac{5}{2}} + C$