미적분 예제

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}} d x$

단계 1

해당 적분은 치환적분으로 풀 수 없습니다. Mathway에서 다른 방법을 사용합니다.

단계 2

$- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 일 때 $x = 2 \sin (t)$ 라고 하면 $d x = 2 \cos (t) d t$ 입니다. $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 이므로 $2 \cos (t)$ 는 양수입니다.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

단계 3

항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.1.1

$2 \sin (t)$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

단계 3.1.1.2

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

단계 3.1.1.3

$4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

단계 3.1.2

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

단계 3.1.3

$- 4 \sin^{2} (t)$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

단계 3.1.4

$4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

단계 3.1.5

피타고라스의 정리를 적용합니다.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

단계 3.1.6

$4 \cos^{2} (t)$ 을 ${(2 \cos (t))}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

단계 3.1.7

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} (2 \cos (t))} (2 \cos (t)) d t$

단계 3.2

공약수를 소거하여 수식을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

$2 \cos (t)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

${(2 \sin (t))}^{2} (2 \cos (t))$ 에서 $2 \cos (t)$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{2 \cos (t) ({(2 \sin (t))}^{2})} (2 \cos (t)) d t$

단계 3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

$\int \frac{1}{2 \cos (t) {(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

단계 3.2.1.3

수식을 다시 씁니다.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2}} d t$

단계 3.2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

$2 \sin (t)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$\int \frac{1}{{(2 (\sin (t)))}^{2}} d t$

단계 3.2.2.2

$2 (\sin (t))$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$\int \frac{1}{2^{2} \sin^{2} (t)} d t$

단계 3.2.2.3

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$\int \frac{1}{4 \sin^{2} (t)} d t$

단계 4

$\frac{1}{4}$ 은 $t$ 에 대해 상수이므로, $\frac{1}{4}$ 를 적분 밖으로 빼냅니다.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t$

단계 5

$\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ 을 $\csc^{2} (t)$ 로 변환합니다.

$\frac{1}{4} \int \csc^{2} (t) d t$

단계 6

$- \cot (t)$ 의 도함수는 $\csc^{2} (t)$ 이므로, $\csc^{2} (t)$ 의 적분값은 $- \cot (t)$ 이 됩니다.

$\frac{1}{4} (- \cot (t) + C)$

단계 7

간단히 합니다.

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단계 7.1

간단히 합니다.

$\frac{1}{4} (- \cot (t)) + C$

단계 7.2

$\frac{1}{4}$ 와 $\cot (t)$ 을 묶습니다.

$- \frac{\cot (t)}{4} + C$

단계 8

$t$ 를 모두 $\arcsin (\frac{x}{2})$ 로 바꿉니다.

$- \frac{\cot (\arcsin (\frac{x}{2}))}{4} + C$

단계 9

간단히 합니다.

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단계 9.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.1

평면에 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, 0)$ , 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 그립니다. 그러면 $\arcsin (\frac{x}{2})$ 는 양의 x축과 원점에서 시작해서 $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ 를 지나는 선 사이의 각이 됩니다. 따라서 $\cot (\arcsin (\frac{x}{2}))$ 는 $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}$ 입니다.

$- \frac{\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}}{4} + C$

단계 9.1.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

단계 9.1.3

$1$ 을 $1^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$- \frac{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

단계 9.1.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = 1$ 이고 $b = \frac{x}{2}$ 입니다.

$- \frac{\sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

단계 9.1.5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- \frac{\sqrt{(\frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

단계 9.1.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

단계 9.1.7

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} (\frac{2}{2} - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

단계 9.1.8

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot \frac{2 - x}{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

단계 9.1.9

$\frac{2 + x}{2}$ 에 $\frac{2 - x}{2}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

단계 9.1.10

$2$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$- \frac{\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

단계 9.1.11

$\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ 을 ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.11.1

$(2 + x) (2 - x)$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

단계 9.1.11.2

$4$ 에서 완전제곱인 $2^{2}$ 인수를 묶습니다.

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}} \frac{2}{x}}{4} + C$

단계 9.1.11.3

분수 $\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$- \frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))} \frac{2}{x}}{4} + C$

단계 9.1.12

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$- \frac{\frac{1}{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{2}{x}}{4} + C$

단계 9.1.13

$\frac{1}{2}$ 와 $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

단계 9.1.14

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1.14.1

공약수로 약분합니다.

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

단계 9.1.14.2

수식을 다시 씁니다.

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{1}{x}}{4} + C$

단계 9.1.15

$\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ 와 $\frac{1}{x}$ 을 묶습니다.

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x}}{4} + C$

단계 9.2

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$- (\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

단계 9.3

$\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x}$ 에 $\frac{1}{4}$ 을 곱합니다.

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x \cdot 4} + C$

단계 9.4

$x$ 의 왼쪽으로 $4$ 이동하기

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{4 x} + C$